ローレンツ変換

光速不変の原理から導かれるローレンツ変換 $x^{'} = γ (x - v t)$ , $t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}})$ , $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ を使って、ある慣性系での事象の座標 $(t, x)$ を別の慣性系での座標に変換し、世界間隔 $c^{2} t^{2} - x^{2}$ が不変であることを確かめられる

前提

相対速度（高校物理運動の表し方）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）

説明

慣性系 S に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で動く慣性系 S' があるとき、S で「時刻 $t$ 、位置 $x$ 」に起きた出来事（事象）が、S' ではいつ・どこで起きたことになるかを求める式がローレンツ変換
$x^{'} = γ (x - v t), t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}}), γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$
です（ $c$ は光速、 $∣ v ∣ < c$ 、 $t = 0$ のとき両方の原点は重なっていて $t^{'} = 0$ とする）。光の速さがどの慣性系でも $c$ になるように座標を変換する方法で、速く動く物体の時計の遅れや長さの縮み、離れた場所の同時刻のずれなどを調べるときの出発点になります。

なぜそうしてよいのか

速さが光速よりずっと小さいときの相対速度の考え方では、S' から見た位置は $x^{'} = x - v t$ 、時刻はどちらも同じ $t^{'} = t$ です。しかしこれだと、S で速さ $c$ の光は S' では速さ $c - v$ になってしまい、「光の速さはどの慣性系で測っても $c$ 」という実験事実（光速不変の原理）に合いません。そこで、形は似ていて係数だけ違う $x^{'} = γ (x - v t)$ とおきます。S' の原点 $x^{'} = 0$ は S で $x = v t$ を動くのでこの形になります。また、S' から見ると S は速さ $v$ で負の向きに動いているので、立場を入れかえて $x = γ (x^{'} + v t^{'})$ も成り立つはずです（同じ $γ$ を使うのは、どちらの系も対等だからです）。

$t = 0$ に原点から正の向きに出た光は、S で $x = c t$ 、S' でも $x^{'} = c t^{'}$ を進みます。これを 2 式に入れると $c t^{'} = γ (c - v) t$ 、 $c t = γ (c + v) t^{'}$ で、辺々掛けると $c^{2} t t^{'} = γ^{2} (c^{2} - v^{2}) t t^{'}$ 、よって $γ^{2} = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ となり、 $γ > 0$ から $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ です。最後に $x = γ (x^{'} + v t^{'})$ に $x^{'} = γ (x - v t)$ を代入して $t^{'}$ について解き、 $\frac{1}{γ} - γ = \frac{1 - γ ^{2}}{γ} = - γ \frac{v ^{2}}{c ^{2}}$ を使うと $t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}})$ が出ます。時刻まで位置 $x$ によって変わるのがガリレイの考え方との大きな違いです。

この変換では、2 つの系で値が変わらない組み合わせがあります。計算すると
$c^{2} t^{'2} - x^{'2} = γ^{2} [(c t - \frac{v}{c} x)^{2} - (x - v t)^{2}] = γ^{2} (1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}) (c^{2} t^{2} - x^{2}) = c^{2} t^{2} - x^{2}$
で、この量（世界間隔）はどの慣性系でも同じです。光の進む $x = \pm c t$ では 0 なので、ある系で光の速さが $c$ なら別の系でも $c$ であることがここからもわかります。変換結果の検算にも使えます。

手順

S' が S に対して動く向きを $x$ 軸の正の向きにとり、速度 $v$ （ $- c < v < c$ 、負の向きなら $v < 0$ ）を決める
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ を計算する（ $γ \geq 1$ ）
事象の S での座標 $(t, x)$ を $x^{'} = γ (x - v t)$ 、 $t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}})$ に代入する。単位は $c$ が 1 になる組（年と光年など）にそろえると計算しやすい
検算として $c^{2} t^{'2} - x^{'2} = c^{2} t^{2} - x^{2}$ が成り立つか確かめる

例題

慣性系 S に対して、慣性系 S' が $x$ 軸の正の向きに速さ $v = \frac{3}{5} c$ で動いている。 $t = 0$ のとき両方の原点は一致していて、そのとき $t^{'} = 0$ である。S において時刻 $t = 5$ 年、位置 $x = 4$ 光年で起きた事象の、S' での時刻 $t^{'}$ （年）と位置 $x^{'}$ （光年）を、この順に分数で求めよ。（1 光年は光が 1 年で進む距離で、 $c = 1$ 光年/年である。）

例題の解答

【手順 1】 $v = \frac{3}{5} c$ （正の向き）。年と光年を使うと $c = 1$ なので $v = \frac{3}{5}$ 。

【手順 2】 $γ = \frac{1}{1 - ( 3/5 ) ^{2}} = \frac{1}{16/25} = \frac{5}{4}$ 。

【手順 3】
$x^{'} = \frac{5}{4} (4 - \frac{3}{5} \cdot 5) = \frac{5}{4} \cdot 1 = \frac{5}{4}, t^{'} = \frac{5}{4} (5 - \frac{3}{5} \cdot 4) = \frac{5}{4} \cdot \frac{13}{5} = \frac{13}{4}$

【手順 4】検算: S では $c^{2} t^{2} - x^{2} = 25 - 16 = 9$ 、S' では $(\frac{13}{4})^{2} - (\frac{5}{4})^{2} = \frac{169 - 25}{16} = 9$ で一致する。

よって $(t^{'}, x^{'}) = (\frac{13}{4}, \frac{5}{4})$ 。

答え: $(\frac{13}{4}, \frac{5}{4})$

よくある誤り

時刻は慣性系によらないとして $t^{'} = t$ または $t^{'} = γ t$ としてしまう誤り。正しくは $t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}})$ で、事象の位置 $x$ によって時刻がずれる（上の例で $t^{'} = γ t = \frac{25}{4}$ ではなく $\frac{13}{4}$ ）
$γ$ で割って $x^{'} = \frac{x - v t}{γ}$ や $x^{'} = 1 - v^{2} / c^{2} (x - v t)$ としてしまう誤り。正しくは $γ (\geq 1)$ を掛けて $x^{'} = γ (x - v t)$
S' から見た S の向きを考えずに、逆変換も $x = γ (x^{'} - v t^{'})$ としてしまう誤り。S' から見ると S は負の向きに動くので、逆変換は $v$ を $- v$ にした $x = γ (x^{'} + v t^{'})$ 、 $t = γ (t^{'} + \frac{v x ^{'}}{c ^{2}})$
単位をそろえずに $t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}})$ の $c^{2}$ を落として $t^{'} = γ (t - v x)$ としてしまう誤り。 $c = 1$ と書けるのは年と光年のように $c$ が 1 になる単位を使うときだけで、SI 単位では $c = 3.0 \times 1 0^{8}$ m/s を入れて計算する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
慣性系 $S$ と、 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v = \frac{3}{5} c$ で動く慣性系 $S^{'}$ がある。両者の $x$ 軸と $x^{'}$ 軸は重なっていて、 $t = t^{'} = 0$ のとき両者の原点は一致していたとする。光速を $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ とする。
$S$ で時刻 $t = 5.0 μ s$ （ $1 μ s = 1 0^{- 6} s$ ）、位置 $x = 1200 m$ で起きた事象について、ローレンツ変換
$x^{'} = γ (x - v t), t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}}), γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$
を用いて、 $S^{'}$ での時刻 $t^{'}$ と位置 $x^{'}$ を求めよ。ただし $t^{'}$ は $μ s$ 単位、 $x^{'}$ は $m$ 単位の正確な値で、組 $(t^{'}, x^{'})$ の形で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（期末試験の応用レベル）
慣性系 $S^{'}$ は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（ $0 < v < c$ ）。 $c$ は真空中の光の速さである。 $S$ と $S^{'}$ の $x$ 軸と $x^{'}$ 軸は重なり、 $y$ 軸と $y^{'}$ 軸は平行で、 $t = t^{'} = 0$ に両者の原点は一致しているものとする。
$S^{'}$ 系で見ると、長さ $L_{0}$ の細い棒が $x^{'}$ 軸に平行な向きを保ったまま、 $y^{'}$ 軸の正の向きに一定の速さ $u$ で運動している（ $0 < u < c$ ）。具体的には、 $S^{'}$ 系で棒の一端 A は $x^{'} = 0$ 、他端 B は $x^{'} = L_{0}$ にあり、両端の $y^{'}$ 座標はどちらも $y^{'} = u t^{'}$ である。
$S$ 系で同時刻に測った棒の両端 A, B の間の距離（ $S$ 系で測った棒の長さ）を、 $L_{0}, u, v, c$ を用いて表せ。

この技能の次に学べること

同時刻の相対性（大学物理特殊相対論）
時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）
長さの収縮（大学物理特殊相対論）
相対論的な速度の合成（平行な成分）（大学物理特殊相対論）
時空の計量とクリストッフェル記号（大学院物理一般相対論）
電磁場テンソルと場のローレンツ変換（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルと場（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））