相対論的な速度の合成（平行な成分）

同じ直線上の速度の合成則 $u^{'} = \frac{u - v}{1 - uv / c ^{2}}$ （逆変換 $u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}$ ）を使って、別の慣性系から見た物体の速度を求め、合成した速さが $c$ を超えないことを確かめられる

前提

ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

説明

慣性系 S' が慣性系 S に対して $x$ 軸の正の向きに速度 $v$ で動いているとき、 $x$ 軸に沿って動く物体の S での速度 $u$ と S' での速度 $u^{'}$ は、
$u^{'} = \frac{u - v}{1 - uv / c ^{2}}, u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}$
で結ばれます。これを使うと、動くロケットから前方に打ち出した物体の地上から見た速度のように、別の慣性系から見た速度を求められます。速さが光速 $c$ に近いと単純な足し算 $u^{'} + v$ とは大きく違い、合成した速さは決して $c$ を超えないことも確かめられます。

なぜそうしてよいのか

物体が S で速度 $u$ の等速直線運動をしているとき、物体の運動中の 2 つの事象（2 つの時刻での物体の位置）の差は $Δ x = u Δ t$ です。ローレンツ変換は 1 次式なので、差についても $Δ x^{'} = γ (Δ x - v Δ t)$ 、 $Δ t^{'} = γ (Δ t - \frac{v Δ x}{c ^{2}})$ が成り立ちます。S' での速度は $u^{'} = \frac{Δ x ^{'}}{Δ t ^{'}}$ なので、 $Δ x = u Δ t$ を代入し $γ Δ t$ で約分すると
$u^{'} = \frac{γ ( u - v ) Δ t}{γ ( 1 - uv / c ^{2} ) Δ t} = \frac{u - v}{1 - uv / c ^{2}}$
となります。分子は以前から知っている相対速度 $u - v$ そのもので、分母の $1 - \frac{uv}{c ^{2}}$ が時刻の変換（同時刻の相対性）から来る補正です。 $u, v$ が $c$ よりずっと小さければ分母はほぼ 1 で、ふつうの相対速度に戻ります。逆変換は、S' から見ると S が速度 $- v$ で動いているので、 $v$ を $- v$ に置きかえて $u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}$ です。

$∣ u^{'} ∣ < c$ 、 $∣ v ∣ < c$ のとき、 $u$ が $c$ を超えないことは次のように確かめられます。
$c - u = \frac{c ( 1 + \frac{u ^{'} v}{c ^{2}} ) - ( u ^{'} + v )}{1 + \frac{u ^{'} v}{c ^{2}}} = \frac{c ( 1 - \frac{u ^{'}}{c} ) ( 1 - \frac{v}{c} )}{1 + \frac{u ^{'} v}{c ^{2}}} > 0$
（分母は $∣ u^{'} v ∣ < c^{2}$ より正）で、同様に $c + u > 0$ なので $∣ u ∣ < c$ です。また $u^{'} = c$ を入れると $u = \frac{c + v}{1 + v / c} = c$ となり、光の速さはどの系でも $c$ という光速不変の原理とも合っています。

手順

2 つの慣性系 S、S' と、S に対する S' の速度 $v$ を決める。 $x$ 軸の正の向きを決め、速度はすべて符号つきで表す
わかっている速度がどちらの系で測ったものか（ $u$ か $u^{'}$ か）を確認する
S での速度 $u$ から S' での速度を求めるなら $u^{'} = \frac{u - v}{1 - uv / c ^{2}}$ 、S' での速度 $u^{'}$ から S での速度を求めるなら $u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}$ に代入する。 $c$ の何倍かで表すと計算しやすい
結果の大きさが $c$ より小さいことを確かめ、符号から向きを読む

例題

宇宙船が地球に対して速さ $0.60 c$ で直線上を遠ざかっている。宇宙船は、自分の進む向きと同じ向きに、宇宙船に対して速さ $0.60 c$ で探査機を打ち出した。地球から見た探査機の速さは光速 $c$ の何倍か。分数で求めよ。

例題の解答

【手順 1】地球の系を S、宇宙船の系を S' とし、宇宙船の進む向きを正とする。S に対する S' の速度は $v = 0.60 c = \frac{3}{5} c$ 。

【手順 2】探査機の速度 $0.60 c$ は宇宙船（S'）に対する値なので $u^{'} = \frac{3}{5} c$ 。求めるのは地球（S）での速度 $u$ 。

【手順 3】逆変換を使って
$u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}} = \frac{\frac{3}{5} c + \frac{3}{5} c}{1 + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{6}{5} c}{\frac{34}{25}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{25}{34} c = \frac{15}{17} c$

【手順 4】 $\frac{15}{17} < 1$ なので確かに $c$ より小さく、向きは正（宇宙船と同じ向き）。単純な足し算の $1.2 c$ にはならない。よって $\frac{15}{17}$ 倍。

答え: $\frac{15}{17}$

よくある誤り

ふつうの足し算で $u = u^{'} + v$ としてしまう誤り。正しくは $u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}$ （上の例で $1.2 c$ ではなく $\frac{15}{17} c$ ）
分母の符号を取り違えて $u^{'} = \frac{u - v}{1 + uv / c ^{2}}$ や $u = \frac{u ^{'} + v}{1 - u ^{'} v / c ^{2}}$ としてしまう誤り。分子が差 $u - v$ なら分母も $1 - \frac{uv}{c ^{2}}$ 、分子が和なら分母も $1 + \frac{u ^{'} v}{c ^{2}}$ 。 $u^{'} = c$ を入れて $u = c$ になるかで確かめられる
向きが逆の速度を正のまま代入してしまう誤り。正面から近づく 2 つの物体のように向きが反対なら、一方を負にする（例: S で $u = - 0.60 c$ の物体を、 $v = 0.60 c$ で動く S' から見ると $u^{'} = \frac{- 0.60 c - 0.60 c}{1 - ( - 0.60 ) ( 0.60 )} = - \frac{15}{17} c$ ）
$u$ と $u^{'}$ のどちらがどの系の速度かを取り違え、逆変換を使うべきところで $u^{'} = \frac{u - v}{1 - uv / c ^{2}}$ を使ってしまう誤り。宇宙船に対する速度（S' の値）から地球に対する速度（S の値）を求めるなら $u = \frac{u ^{'} + v}{1 + u ^{'} v / c ^{2}}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

運動方向に垂直な速度成分の変換（大学物理特殊相対論）
ラピディティと速度の合成の繰り返し（大学物理特殊相対論）