特殊相対論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理特殊相対論

慣性系 $S_{0}$ に静止していた探査機が、次のように段階的に加速する。第 $k$ 段階（ $k = 1, 2, 3, \dots$ ）では、直前の段階の終わりに探査機が静止していた慣性系 $S_{k - 1}$ から見て、探査機が $x$ 軸の正の向きに速さ $\frac{1}{2} c$ で動くようになる。この状態の探査機が静止する慣性系を $S_{k}$ とする。加速はすべて $x$ 軸に沿っており、加速にかかる時間は考えない。ここで $c$ は真空中の光の速さである。 $n$ を正の整数とするとき、第 $n$ 段階を終えた探査機の、 $S_{0}$ 系で測った速さ $v_{n}$ について、 $\frac{v _{n}}{c}$ を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

ラピディティと速度の合成の繰り返し（説明と入口の問題）
相対論的な速度の合成（平行な成分）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$S_{0}$ 系での速さ $v_{n - 1}$ の系から、さらに速さ $\frac{1}{2} c$ で動く物体の速さを、相対論的な速度の合成則で表し、 $β_{n} = v_{n} / c$ の漸化式を作る。

ヒント 2

漸化式 $β_{n} = \frac{β _{n - 1} + \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} β _{n - 1}}$ は、 $\frac{1 + β _{n}}{1 - β _{n}}$ を考えると簡単になる（ラピディティの和に対応する）。

ヒント 3

$\frac{1 + β _{n}}{1 - β _{n}} = 3 \cdot \frac{1 + β _{n - 1}}{1 - β _{n - 1}}$ が成り立つ。 $β_{0} = 0$ から始めて一般項を求め、 $β_{n}$ について解く。

答えと解説

答えを見る

\frac{3 ^{n} - 1}{3 ^{n} + 1}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$β_{n} = \frac{v _{n}}{c}$ とおく。 $S_{n}$ 系は $S_{n - 1}$ 系に対して速さ $\frac{1}{2} c$ で、 $S_{n - 1}$ 系は $S_{0}$ 系に対して速さ $v_{n - 1}$ で、同じ $x$ 軸の正の向きに動いている。同じ向きの速度の合成則（ローレンツ変換から導かれる）より
$β_{n} = \frac{β _{n - 1} + \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} β _{n - 1}} (β_{0} = 0) (1)$
である。

この漸化式を解くために、 $r_{n} = \frac{1 + β _{n}}{1 - β _{n}}$ を考える。 $(1)$ より
$1 + β_{n} = \frac{1 + \frac{1}{2} β _{n - 1} + β _{n - 1} + \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} β _{n - 1}} = \frac{\frac{3}{2} ( 1 + β _{n - 1} )}{1 + \frac{1}{2} β _{n - 1}}$
$1 - β_{n} = \frac{1 + \frac{1}{2} β _{n - 1} - β _{n - 1} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} β _{n - 1}} = \frac{\frac{1}{2} ( 1 - β _{n - 1} )}{1 + \frac{1}{2} β _{n - 1}}$
なので
$r_{n} = \frac{3/2}{1/2} r_{n - 1} = 3 r_{n - 1}$
となる。 $r_{0} = 1$ より $r_{n} = 3^{n}$ である。

（これは、ラピディティ $ϕ$ （ $β = tanh ϕ$ ）が同じ向きの合成で足し算になり、 $\frac{1 + β}{1 - β} = e^{2 ϕ}$ が掛け算になることに対応する。）

$\frac{1 + β _{n}}{1 - β _{n}} = 3^{n}$ を $β_{n}$ について解くと
$1 + β_{n} = 3^{n} (1 - β_{n}) ∴ β_{n} = \frac{3 ^{n} - 1}{3 ^{n} + 1}$

確認： $n = 1$ で $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 、 $n = 2$ で $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ となり、 $(1)$ から直接計算した $\frac{1/2 + 1/2}{1 + 1/4} = \frac{4}{5}$ と一致する。また、どの $n$ でも $β_{n} < 1$ で、光速を超えない。

よって $\frac{v _{n}}{c} = \frac{3 ^{n} - 1}{3 ^{n} + 1}$ である。

別解

速さ $v$ に対するラピディティ $η$ を $v / c = tanh η$ で定義すると、同じ向きの速度の合成ではラピディティが加算される（ $tanh (a + b) = \frac{t a n h a + t a n h b}{1 + t a n h a t a n h b}$ が相対論的な速度の合成則と同じ形のため）。

1 段階の速さ $\frac{1}{2} c$ に対して $tanh η = \frac{1}{2}$ 。 $tanh η = \frac{e ^{2 η} - 1}{e ^{2 η} + 1} = \frac{1}{2}$ より $e^{2 η} = 3$ 。

$n$ 段階後のラピディティは $n η$ なので
$\frac{v _{n}}{c} = tanh (n η) = \frac{e ^{2 n η} - 1}{e ^{2 n η} + 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{3 ^{n} + 1}$

検算: $n = 1$ で $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 。 $n = 2$ で $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ 。直接合成すると $\frac{1/2 + 1/2}{1 + 1/4} = \frac{4}{5}$ で一致する。 $n \to \infty$ で $1$ に近づき、光速を超えない。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる