特殊相対論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理特殊相対論

慣性系 $S^{'}$ は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{1}{2} c$ で動いており、 $S^{'}$ の $x^{'}$ 軸・ $y^{'}$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・ $y$ 軸と平行である。 $S^{'}$ 系で見ると、ある粒子が $x^{'} y^{'}$ 平面内を速さ $\frac{1}{2} c$ で等速直線運動しており、その速度の向きは $x^{'}$ 軸の正の向きから $y^{'}$ 軸の正の向きへ角 $\frac{π}{3}$ だけ回した向きである。ここで $c$ は真空中の光の速さである。 $S$ 系で見たこの粒子の速度の向きが $x$ 軸の正の向きとなす角を $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）とするとき、 $tan θ$ を分数で求めよ。

この問題で使うもの

運動方向に垂直な速度成分の変換（説明と入口の問題）
相対論的な速度の合成（平行な成分）（説明と入口の問題）
三角比の定義と値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S^{'}$ 系での粒子の速度を $x^{'}$ 成分と $y^{'}$ 成分に分け、それぞれを相対論的な速度の合成則で $S$ 系の成分に変換する。

ヒント 2

$x$ 成分は $u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + V}{1 + V u _{x}^{'} / c ^{2}}$ 、 $y$ 成分は $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + V u _{x}^{'} / c ^{2} )}$ と変換される。

ヒント 3

$u_{x}^{'} = \frac{1}{4} c$ , $u_{y}^{'} = \frac{3}{4} c$ , $γ = \frac{2}{3}$ , $1 + V u_{x}^{'} / c^{2} = \frac{9}{8}$ である。 $u_{x}$ と $u_{y}$ を求めて比をとる。

答えと解説

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\frac{1}{2}

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解説を読む

$S$ と $S^{'}$ はともに慣性系なので、ローレンツ変換から導かれる速度の合成則が使える。 $S^{'}$ 系が $S$ 系に対して $x$ 方向に速さ $V$ で動くとき
$u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + V}{1 + \frac{V u _{x}^{'}}{c ^{2}}}, u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + \frac{V u _{x}^{'}}{c ^{2}} )}, γ = \frac{1}{1 - \frac{V ^{2}}{c ^{2}}}$
である。

$V = \frac{1}{2} c$ より $γ = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3}$ である。

$S^{'}$ 系での粒子の速度成分は
$u_{x}^{'} = \frac{1}{2} c cos \frac{π}{3} = \frac{1}{4} c, u_{y}^{'} = \frac{1}{2} c sin \frac{π}{3} = \frac{3}{4} c$
である。分母に現れる量は
$1 + \frac{V u _{x}^{'}}{c ^{2}} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{8}$
となる。よって
$u_{x} = \frac{\frac{1}{4} c + \frac{1}{2} c}{\frac{9}{8}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} c = \frac{2}{3} c$
$u_{y} = \frac{\frac{3}{4} c}{\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{9} c = \frac{1}{3} c$

したがって
$tan θ = \frac{u _{y}}{u _{x}} = \frac{\frac{1}{3} c}{\frac{2}{3} c} = \frac{1}{2}$
である。 $u_{x} > 0$ , $u_{y} > 0$ なので $0 < θ < \frac{π}{2}$ を満たす。

（参考： $S^{'}$ 系での角 $\frac{π}{3}$ は $tan = 3$ だが、 $S$ 系では運動方向（ $x$ 方向）に向きが寄って $tan θ = \frac{1}{2}$ となる。 $S$ 系での速さは $\frac{4}{9} + \frac{1}{9} c = \frac{5}{3} c < c$ である。）

別解

$β = \frac{1}{2}$ 、 $γ = 1/ 1 - 1/4 = \frac{2}{3}$ 。 $S^{'}$ 系での粒子の速度成分は
$u_{x}^{'} = \frac{1}{2} c cos \frac{π}{3} = \frac{1}{4} c, u_{y}^{'} = \frac{1}{2} c sin \frac{π}{3} = \frac{3}{4} c$

$S$ 系の速度成分:
$u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + v}{1 + v u _{x}^{'} / c ^{2}} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{8}} c = \frac{3/4}{9/8} c = \frac{2}{3} c$
$u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + v u _{x}^{'} / c ^{2} )} = \frac{3 /4}{\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}} c = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{9} c = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{9} c = \frac{1}{3} c$

$tan θ = u_{y} / u_{x} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ 。

検算: 速さ $(2/3)^{2} + (1/3)^{2} c = \frac{5}{3} c \approx 0.745 c < c$ で、光速を超えない。

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