特殊相対論の問題

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、$S$ と $S^{\prime }$ の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なり、$y$ 軸と $y^{\prime }$ 軸はつねに平行であるとする。$S^{\prime }$ 系に静止している宇宙船から、探査機が $S^{\prime }$ 系で見て $y^{\prime }$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で発射された。発射後、探査機は等速直線運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を含む正確な値で答えよ。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って $x$ 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ $\frac{1}{2}c$ で発射したところ、$S$ 系で測った探査機の速度は $x$ 軸の正の向きに $\frac{1}{4}c$ であった。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

慣性系 $S^{\prime }$ に静止した長さ $L_0$ のまっすぐな棒が $x^{\prime }{y}^{\prime }$ 平面内にあり、$x^{\prime }$ 軸と角 $\frac{\pi }{3}$ をなしている。$S^{\prime }$ 系は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{\sqrt{3}}{2}c$ で動いており、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行である。ここで $c$ は真空中の光の速さである。$S$ 系で（$S$ 系の同時刻に両端の位置を測って）求めた棒の長さは $L_0$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

地球に固定した慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{1}{2}c$ で進んでいる。宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）で見て、宇宙船から探査機が $x^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $u^{\prime }=\frac{3}{5}c$ で発射され、その後一定の速度で進む。$c$ は真空中の光速である。

地球の系 $S$ から見た探査機の速さ $u$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

地上に固定した慣性系 $S$ に対して、列車が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で走っている。列車とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、列車の長さは $S^{\prime }$ 系で測って $L_0$ である。列車の前端と後端にはそれぞれランプが取り付けられており、2 つのランプは $S$ 系で同時刻に一瞬だけ光った。ここで $c$ は真空中の光の速さである。$S^{\prime }$ 系で測った、2 つのランプが光った時刻の差の大きさは $\frac{L_0}{c}$ の何倍か。分数で答えよ。