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特殊相対論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理特殊相対論

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{'}$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5} c$ で運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、 $S$ と $S^{'}$ の $x$ 軸と $x^{'}$ 軸は重なり、 $y$ 軸と $y^{'}$ 軸はつねに平行であるとする。 $S^{'}$ 系に静止している宇宙船から、探査機が $S^{'}$ 系で見て $y^{'}$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5} c$ で発射された。発射後、探査機は等速直線運動をするものとする。 $S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を含む正確な値で答えよ。

この問題で使うもの

運動方向に垂直な速度成分の変換（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S^{'}$ 系での探査機の速度成分 $(u_{x}^{'}, u_{y}^{'})$ を書き、相対論的な速度の合成則で $S$ 系の速度成分に直す。

ヒント 2

運動方向に垂直な成分の変換は $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + \frac{V u _{x}^{'}}{c ^{2}} )}$ であり、ここでは $u_{x}^{'} = 0$ である。

ヒント 3

$γ = \frac{5}{4}$ より $u_{x} = \frac{3}{5} c$ , $u_{y} = \frac{16}{25} c$ となる。あとは大きさ $u_{x}^{2} + u_{y}^{2}$ を計算する。

答えと解説

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\frac{481}{25}

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解説を読む

$S^{'}$ 系の $S$ 系に対する速さを $V = \frac{3}{5} c$ とし、 $β = \frac{V}{c} = \frac{3}{5}$ , $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - \frac{9}{25}} = \frac{5}{4}$ とおく。

ローレンツ変換から導かれる速度の合成則（ $S^{'}$ 系での速度 $(u_{x}^{'}, u_{y}^{'})$ を $S$ 系での速度 $(u_{x}, u_{y})$ に直す式）は
$u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + V}{1 + \frac{V u _{x}^{'}}{c ^{2}}}, u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + \frac{V u _{x}^{'}}{c ^{2}} )}$
である。 $S$ と $S^{'}$ はどちらも慣性系で、探査機は等速直線運動をするので、この式がそのまま使える。

探査機の $S^{'}$ 系での速度は $u_{x}^{'} = 0$ , $u_{y}^{'} = \frac{4}{5} c$ なので、 $1 + \frac{V u _{x}^{'}}{c ^{2}} = 1$ となり、
$u_{x} = V = \frac{3}{5} c, u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ} = \frac{4}{5} c \times \frac{4}{5} = \frac{16}{25} c$
$y$ 成分は $S^{'}$ 系の時間の遅れのため $\frac{1}{γ}$ 倍に小さくなる（長さ $y$ は変わらないが、 $S$ 系で測った時間が $γ$ 倍に延びる）。

よって $S$ 系での速さ $u$ は
$u = u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = c \frac{9}{25} + \frac{256}{625} = c \frac{225 + 256}{625} = \frac{481}{25} c$

確認: $1 - \frac{u ^{2}}{c ^{2}} = \frac{144}{625}$ であり、これは $(1 - β^{2}) (1 - \frac{u ^{'2}}{c ^{2}}) = \frac{16}{25} \times \frac{9}{25} = \frac{144}{625}$ と一致する（ $u^{'} = \frac{4}{5} c$ が $u_{x}^{'} = 0$ のときに成り立つ関係）。また $\frac{481}{25} \approx 0.877 < 1$ で光速を超えない。

したがって、答えは $\frac{481}{25}$ 倍である。

別解

$S^{'}$ の速さ $V = \frac{3}{5} c$ なので $γ = 1/ 1 - 9/25 = \frac{5}{4}$ 。 $S^{'}$ 系での探査機の速度は $u_{x}^{'} = 0, u_{y}^{'} = \frac{4}{5} c$ 。速度の変換則（ $S^{'}$ が $S$ に対し $x$ 方向に $V$ で動く場合）は $u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + V}{1 + V u _{x}^{'} / c ^{2}}$ 、 $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + V u _{x}^{'} / c ^{2} )}$ 。 $u_{x}^{'} = 0$ より $u_{x} = \frac{3}{5} c$ 、 $u_{y} = \frac{4}{5} c \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25} c$ 。 $S$ 系での速さは $u = u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = c \frac{225}{625} + \frac{256}{625} = \frac{481}{25} c$ 。検算: 別法として $γ_{u} = γ γ^{'} = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{12}$ より $u^{2} / c^{2} = 1 - \frac{144}{625} = \frac{481}{625}$ で一致。よって $\frac{481}{25}$ 倍（約 0.877 倍で $c$ 未満）。

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