特殊相対論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理特殊相対論

慣性系 $S^{'}$ は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（ $0 < v < c$ ）。 $c$ は真空中の光の速さである。 $S$ と $S^{'}$ の $x$ 軸と $x^{'}$ 軸は重なり、 $y$ 軸と $y^{'}$ 軸は平行で、 $t = t^{'} = 0$ に両者の原点は一致しているものとする。

$S^{'}$ 系で見ると、長さ $L_{0}$ の細い棒が $x^{'}$ 軸に平行な向きを保ったまま、 $y^{'}$ 軸の正の向きに一定の速さ $u$ で運動している（ $0 < u < c$ ）。具体的には、 $S^{'}$ 系で棒の一端 A は $x^{'} = 0$ 、他端 B は $x^{'} = L_{0}$ にあり、両端の $y^{'}$ 座標はどちらも $y^{'} = u t^{'}$ である。

$S$ 系で同時刻に測った棒の両端 A, B の間の距離（ $S$ 系で測った棒の長さ）を、 $L_{0}, u, v, c$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ローレンツ変換（説明と入口の問題）
同時刻の相対性（説明と入口の問題）
長さの収縮（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

棒の両端 A, B それぞれの世界線を $S^{'}$ 系で書き、ローレンツ変換で $S$ 系の座標に直してから、 $S$ 系の同じ時刻 $t$ での両端の位置を比べる。

ヒント 2

$t = γ (t^{'} + v x^{'} / c^{2})$ から、 $S$ 系の時刻 $t$ に対応する $S^{'}$ 系の時刻は端 A では $t^{'} = t / γ$ 、端 B では $t^{'} = t / γ - v L_{0} / c^{2}$ と異なる（同時刻の相対性）。

ヒント 3

同時刻での座標差は $Δ x = L_{0} / γ$ となり、 $y$ 方向にもずれ $Δ y$ が生じる。 $Δ y$ を求めて三平方の定理を使う。

答えと解説

答えを見る

L_{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} + \frac{u ^{2} v ^{2}}{c ^{4}}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ とおく。 $S^{'}$ 系から $S$ 系へのローレンツ変換は
$t = γ (t^{'} + \frac{v x ^{'}}{c ^{2}}), x = γ (x^{'} + v t^{'}), y = y^{'}$
である。

端 A（ $x^{'} = 0$ , $y^{'} = u t^{'}$ ）： $S$ 系の時刻 $t$ に対応する A の世界線上の事象では $t = γ t^{'}$ より $t^{'} = t / γ$ 。よって
$x_{A} = γ v \cdot \frac{t}{γ} = v t, y_{A} = \frac{u t}{γ} .$

端 B（ $x^{'} = L_{0}$ , $y^{'} = u t^{'}$ ）： $t = γ (t^{'} + \frac{v L _{0}}{c ^{2}})$ より $t^{'} = \frac{t}{γ} - \frac{v L _{0}}{c ^{2}}$ 。よって
$x_{B} = γ (L_{0} + \frac{v t}{γ} - \frac{v ^{2} L _{0}}{c ^{2}}) = γ L_{0} (1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}) + v t = \frac{L _{0}}{γ} + v t,$
$y_{B} = u (\frac{t}{γ} - \frac{v L _{0}}{c ^{2}}) = \frac{u t}{γ} - \frac{uv L _{0}}{c ^{2}} .$

したがって $S$ 系の同時刻 $t$ での両端の座標の差は
$Δ x = x_{B} - x_{A} = \frac{L _{0}}{γ}, Δ y = y_{B} - y_{A} = - \frac{uv L _{0}}{c ^{2}} .$
$x$ 方向には通常のローレンツ収縮が起こり、さらに $S^{'}$ 系での「同時」が $S$ 系では同時でない（同時刻の相対性）ため、B は A より早い $t^{'}$ の位置にあり、棒は $S$ 系で傾いて見える（傾きは $Δ y /Δ x = - γ uv / c^{2}$ ）。

棒の長さは
$L = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} = L_{0}^{2} (1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}) + \frac{u ^{2} v ^{2} L _{0}^{2}}{c ^{4}} = L_{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} + \frac{u ^{2} v ^{2}}{c ^{4}} .$

確認： $u = 0$ なら $L_{0} 1 - v^{2} / c^{2}$ （通常の長さの収縮）、 $v \to 0$ なら $L_{0}$ となり妥当である。

別解

$S$ 系での同時刻 $t_{A} = t_{B}$ における A, B の位置を、ローレンツ変換 $x = γ (x^{'} + v t^{'})$ , $t = γ (t^{'} + v x^{'} / c^{2})$ , $y = y^{'}$ （ $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ ）で求める。

A は $x^{'} = 0$ , $y^{'} = u t_{A}^{'}$ なので $t_{A} = γ t_{A}^{'}$ , $x_{A} = γ v t_{A}^{'}$ , $y_{A} = u t_{A}^{'}$ 。
B は $x^{'} = L_{0}$ , $y^{'} = u t_{B}^{'}$ なので $t_{B} = γ (t_{B}^{'} + v L_{0} / c^{2})$ , $x_{B} = γ (L_{0} + v t_{B}^{'})$ , $y_{B} = u t_{B}^{'}$ 。

$t_{A} = t_{B}$ より $t_{B}^{'} - t_{A}^{'} = - v L_{0} / c^{2}$ 。

$x$ 方向の差は $Δ x = x_{B} - x_{A} = γ (L_{0} + v (t_{B}^{'} - t_{A}^{'})) = γ L_{0} (1 - v^{2} / c^{2}) = L_{0} 1 - v^{2} / c^{2}$ 。
$y$ 方向の差は $Δ y = u (t_{B}^{'} - t_{A}^{'}) = - uv L_{0} / c^{2}$ 。

よって棒の長さは $L = Δ x^{2} + Δ y^{2} = L_{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} + \frac{u ^{2} v ^{2}}{c ^{4}} = L_{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} (1 - \frac{u ^{2}}{c ^{2}})$ 。

検算： $u \to 0$ では $L_{0} 1 - v^{2} / c^{2}$ （通常のローレンツ収縮）に一致する。 $v \to 0$ では $L_{0}$ に一致する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる