特殊相対論の問題

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で運動している。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行で、$S^{\prime }$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に動いているものとする。宇宙船から探査機が、$S^{\prime }$ 系で測って $y^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で発射された。ここで $c$ は真空中の光の速さである。発射後、探査機は等速度運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、$S$ と $S^{\prime }$ の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なり、$y$ 軸と $y^{\prime }$ 軸はつねに平行であるとする。$S^{\prime }$ 系に静止している宇宙船から、探査機が $S^{\prime }$ 系で見て $y^{\prime }$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で発射された。発射後、探査機は等速直線運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を含む正確な値で答えよ。

慣性系 $S^{\prime }$ は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{1}{2}c$ で動いており、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行である。$S^{\prime }$ 系で見ると、ある粒子が $x^{\prime }{y}^{\prime }$ 平面内を速さ $\frac{1}{2}c$ で等速直線運動しており、その速度の向きは $x^{\prime }$ 軸の正の向きから $y^{\prime }$ 軸の正の向きへ角 $\frac{\pi }{3}$ だけ回した向きである。ここで $c$ は真空中の光の速さである。$S$ 系で見たこの粒子の速度の向きが $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）とするとき、$\tan \theta$ を分数で求めよ。

地上に固定した慣性系 $S$ に対して、列車が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で走っている。列車とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、列車の長さは $S^{\prime }$ 系で測って $L_0$ である。列車の前端と後端にはそれぞれランプが取り付けられており、2 つのランプは $S$ 系で同時刻に一瞬だけ光った。ここで $c$ は真空中の光の速さである。$S^{\prime }$ 系で測った、2 つのランプが光った時刻の差の大きさは $\frac{L_0}{c}$ の何倍か。分数で答えよ。

慣性系 $S^{\prime }$ は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。$c$ は真空中の光の速さである。$S$ と $S^{\prime }$ の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なり、$y$ 軸と $y^{\prime }$ 軸は平行で、$t=t^{\prime }=0$ に両者の原点は一致しているものとする。

$S^{\prime }$ 系で見ると、長さ $L_0$ の細い棒が $x^{\prime }$ 軸に平行な向きを保ったまま、$y^{\prime }$ 軸の正の向きに一定の速さ $u$ で運動している（$0<u<c$）。具体的には、$S^{\prime }$ 系で棒の一端 A は $x^{\prime }=0$、他端 B は $x^{\prime }=L_0$ にあり、両端の $y^{\prime }$ 座標はどちらも $y^{\prime }=u{t}^{\prime }$ である。

$S$ 系で同時刻に測った棒の両端 A, B の間の距離（$S$ 系で測った棒の長さ）を、$L_0,u,v,c$ を用いて表せ。