宇宙船の静止系で測った宇宙船の全長（固有長）は である。この宇宙船が、宇宙空間に静止している観測者 P（P に固定した系は慣性系とする）に対して、船の長さの向きに一定の速さ で一直線に進み、P のすぐそばを通過する。光速を とし、与えられた数値は正確な値として扱う。
P の系で測って、宇宙船の先端が P の位置を通過してから後端が P の位置を通過するまでの時間を、（）単位の正確な値（分数）で求めよ。
長さの収縮
物体の静止系での長さ（固有長） と、物体が速さ で動いて見える慣性系で同時刻に両端を測った長さ の関係を使って、長さや通過にかかる時間を求められる
前提
- ローレンツ変換 （大学物理 特殊相対論）
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- 乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開 （中学数学 数と式）
- 根号を含む式の計算と分母の有理化 （数学I 数と式）
- ローレンツ変換 （大学物理 特殊相対論）
説明
物体が静止している慣性系で測った長さを固有長 といいます。その物体が長さの向きに速さ で動いて見える慣性系で、両端の位置を同じ時刻に読んで測ると、長さは と短くなります（運動の向きに垂直な長さは変わりません）。これを使って、高速で動く列車やロケットの見かけの長さや、それがある点を通過しきるまでの時間 を求められます。
なぜそうしてよいのか
棒が静止している慣性系を S' とし、棒は S' の 軸上で から まで置かれているとします。固有長は です。S' は慣性系 S に対して 軸の正の向きに速さ で動いているので、S から見ると棒は動いています。動いている物体の長さを S で測るには、両端の位置を「S の同じ時刻 」に読まなければなりません（時刻をずらして読むと、その間に棒が動いてしまうからです）。
S の時刻 に両端が 、 にあったとすると、ローレンツ変換から 、 で、引き算すると が消えて
となります。よって で、（）なので動いている棒は短く測られます。S で同時に読んだ 2 つの読み取りは、S' では同時ではありませんが、S' では棒が止まっているので S' での時刻のずれは長さに影響しません。
運動の向きに垂直な方向は、ローレンツ変換で 、 のまま変わらないので、縮むのは運動の向きの長さだけです。物体が S で見て点を通過しきる時間は、S での長さ を速さ で割って になります。
手順
どの系が物体の静止系かを決め、その系での長さを固有長 とする
物体が動いて見える系での速さ から を計算する
その系での運動の向きの長さを で求める（運動に垂直な長さはそのまま）
通過時間などが必要なら、同じ系の量どうしで と計算し、指定の有効数字にそろえる
例題
静止しているときの長さが m のロケットが、地上に対して速さ で、地上に静止している観測者のすぐ横を一直線に通り過ぎる。光速を m/s とする。地上の観測者から見て、ロケットの先端が観測者の横を通過してから後端が通過するまでの時間は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。
例題の解答
【手順 1】ロケットの静止系での長さ m が固有長。
【手順 2】 より 。
【手順 3】地上の系でのロケットの長さは m。
【手順 4】地上の系では長さ 72 m のロケットが速さ m/s で通り過ぎるので
答え:
よくある誤り
動いて見える系での長さを と長くしてしまう誤り。正しくは で、固有長がいちばん長い（上の例で m ではなく m）
地上の系での通過時間を、ロケットの静止系での長さで と計算してしまう誤り。時間と長さは同じ系の値を組にするので、地上の系では （上の例で s ではなく s）。 はロケットの系で観測者が先端から後端まで移動する時間
運動の向きに垂直な長さ（ロケットの直径など）も 倍に縮めてしまう誤り。縮むのは運動の向きの長さだけで、垂直な長さは 、 より変わらない
両端の位置を S の異なる時刻に読んだ差を長さとしてしまう誤り。動いている物体の長さは両端を同じ時刻 に読んだ差 で、そうして初めて が成り立つ
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
慣性系 に静止した長さ のまっすぐな棒が 平面内にあり、 軸と角 をなしている。 系は慣性系 に対して 軸の正の向きに一定の速さ で動いており、 の 軸・ 軸はそれぞれ の 軸・ 軸と平行である。ここで は真空中の光の速さである。 系で（ 系の同時刻に両端の位置を測って）求めた棒の長さは の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。
地球と恒星 P は互いに静止しており、この 2 つが静止している慣性系で測った地球と P の距離は 光年である。宇宙船が地球のそばを通過した瞬間から一定の速さ で P に向かってまっすぐ進み、P のそばを通過した。宇宙船に積んだ時計で測ると、地球のそばを通過してから P のそばを通過するまでの時間は 年であった。 光年は光が真空中を 年かけて進む距離であり、真空中の光の速さを とする。 を分数で求めよ。
地上に固定した慣性系 の 軸上の原点に標識が静止している。宇宙船が 軸に沿って 軸の正の向きに一定の速さ （、 は未知）で運動しながら、標識のすぐそばを通過する。宇宙船とともに動く慣性系を とし、宇宙船の長さは 系で測って である。宇宙船の前端と後端にはそれぞれ時計が取り付けてあり、2 つの時計は 系で同期されている。
標識のそばに置いた 系の時計で測ると、宇宙船の前端が標識を通過してから後端が標識を通過するまでの時間は であった。
前端が標識を通過した瞬間の前端の時計の読みと、後端が標識を通過した瞬間の後端の時計の読みの差（後者から前者を引いたもの）を、, , を用いて表せ。ここで は真空中の光の速さである。
地上に固定した慣性系 に対して、列車が 軸の正の向きに一定の速さ で走っている。列車とともに動く慣性系を とし、列車の長さは 系で測って である。列車の前端と後端にはそれぞれランプが取り付けられており、2 つのランプは 系で同時刻に一瞬だけ光った。ここで は真空中の光の速さである。 系で測った、2 つのランプが光った時刻の差の大きさは の何倍か。分数で答えよ。
慣性系 は慣性系 に対して 軸の正の向きに一定の速さ で運動している（）。 は真空中の光の速さである。 と の 軸と 軸は重なり、 軸と 軸は平行で、 に両者の原点は一致しているものとする。
系で見ると、長さ の細い棒が 軸に平行な向きを保ったまま、 軸の正の向きに一定の速さ で運動している（）。具体的には、 系で棒の一端 A は 、他端 B は にあり、両端の 座標はどちらも である。
系で同時刻に測った棒の両端 A, B の間の距離（ 系で測った棒の長さ）を、 を用いて表せ。