特殊相対論の問題

ある天体が、地球に静止した観測者（慣性系に静止しているとする）に向かって、観測者と天体を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で近づいている。天体は、天体とともに動く慣性系で測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出している。観測者がこの光の波長を測ったところ $\frac{3}{5}{\lambda }_0$ であった。真空中の光の速さを $c$ とし、光は真空中を伝わるものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

地上に固定した慣性系 $S$ の $x$ 軸上の原点に標識が静止している。宇宙船が $x$ 軸に沿って $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$（$0<v<c$、$v$ は未知）で運動しながら、標識のすぐそばを通過する。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、宇宙船の長さは $S^{\prime }$ 系で測って $L_0$ である。宇宙船の前端と後端にはそれぞれ時計が取り付けてあり、2 つの時計は $S^{\prime }$ 系で同期されている。

標識のそばに置いた $S$ 系の時計で測ると、宇宙船の前端が標識を通過してから後端が標識を通過するまでの時間は $T$ であった。

前端が標識を通過した瞬間の前端の時計の読みと、後端が標識を通過した瞬間の後端の時計の読みの差（後者から前者を引いたもの）を、$L_0$, $T$, $c$ を用いて表せ。ここで $c$ は真空中の光の速さである。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って $x$ 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ $\frac{1}{2}c$ で発射したところ、$S$ 系で測った探査機の速度は $x$ 軸の正の向きに $\frac{1}{4}c$ であった。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

不安定な粒子が、生成されてから自身の静止系で測って時間 ${\tau }_0$ だけたったときに崩壊する。この粒子が実験室系（慣性系）で生成され、直後から一定の速さ $\frac{12}{13}c$ で直線運動をした。ここで $c$ は真空中の光の速さである。実験室系で測って、粒子が生成されてから崩壊するまでに進む距離は $c{\tau }_0$ の何倍か。分数で答えよ。

宇宙船の静止系で測った宇宙船の全長（固有長）は $L_0=150\mathrm{m}$ である。この宇宙船が、宇宙空間に静止している観測者 P（P に固定した系は慣性系とする）に対して、船の長さの向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で一直線に進み、P のすぐそばを通過する。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

P の系で測って、宇宙船の先端が P の位置を通過してから後端が P の位置を通過するまでの時間を、$\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）単位の正確な値（分数）で求めよ。