特殊相対論の問題

実験室系（慣性系）$S$ で静止していた原子核が崩壊し、2 個の同じ種類の粒子 A, B が生じた。$S$ 系で見ると、A は $x$ 軸の負の向きに、B は $x$ 軸の正の向きに、同じ一定の速さ $u$ で直線運動をした（$0<u<c$）。ここで $c$ は真空中の光の速さである。A とともに動く慣性系で測ると、B の速さは $\frac{12}{13}c$ であった。比 $\frac{u}{c}$ を既約分数で求めよ。

ある不安定粒子は、静止しているとき（粒子とともに動く時計で測ったとき）、生成されてから $\tau =2.0\times 10^{-8}\mathrm{s}$ 後に崩壊する。この粒子が、実験室に固定した慣性系に対して一定の速さ $v=\frac{12}{13}c$ で一直線上を運動している。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

粒子が生成されてから崩壊するまでに、実験室系で進む距離を $\mathrm{m}$ 単位の正確な値で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で運動している。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行で、$S^{\prime }$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に動いているものとする。宇宙船から探査機が、$S^{\prime }$ 系で測って $y^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で発射された。ここで $c$ は真空中の光の速さである。発射後、探査機は等速度運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って $x$ 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ $\frac{1}{2}c$ で発射したところ、$S$ 系で測った探査機の速度は $x$ 軸の正の向きに $\frac{1}{4}c$ であった。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

地球と恒星 P は互いに静止しており、この 2 つが静止している慣性系で測った地球と P の距離は $4$ 光年である。宇宙船が地球のそばを通過した瞬間から一定の速さ $v$ で P に向かってまっすぐ進み、P のそばを通過した。宇宙船に積んだ時計で測ると、地球のそばを通過してから P のそばを通過するまでの時間は $3$ 年であった。$1$ 光年は光が真空中を $1$ 年かけて進む距離であり、真空中の光の速さを $c$ とする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。