特殊相対論の問題

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って $x$ 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ $\frac{1}{2}c$ で発射したところ、$S$ 系で測った探査機の速度は $x$ 軸の正の向きに $\frac{1}{4}c$ であった。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

不安定な粒子が、生成されてから自身の静止系で測って時間 ${\tau }_0$ だけたったときに崩壊する。この粒子が実験室系（慣性系）で生成され、直後から一定の速さ $\frac{12}{13}c$ で直線運動をした。ここで $c$ は真空中の光の速さである。実験室系で測って、粒子が生成されてから崩壊するまでに進む距離は $c{\tau }_0$ の何倍か。分数で答えよ。

宇宙空間に静止した宇宙ステーションがあり、これとともに動く慣性系を $S$ とする。真空中の光の速さを $c$ とする。ステーションから探査機 1 を、$S$ 系で測って速さ $\frac{1}{2}c$ で $x$ 軸の正の向きに発射した。次に、探査機 1 から探査機 2 を、探査機 1 とともに動く慣性系で測って速さ $\frac{1}{2}c$ で $x$ 軸の正の向きに発射した。さらに、探査機 2 から探査機 3 を、探査機 2 とともに動く慣性系で測って速さ $\frac{1}{2}c$ で $x$ 軸の正の向きに発射した。発射後の各探査機は等速直線運動をし、各探査機とともに動く座標系は慣性系とみなせるものとする。$S$ 系で測った探査機 3 の速さを $u_3$ とするとき、$\frac{u_3}{c}$ を既約分数で求めよ。

地球に固定した慣性系 $S$ で、$x$ 軸に沿って運動する 2 機の宇宙船 A, B を考える。$S$ 系で見ると、宇宙船 A は $x$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で、宇宙船 B は $x$ 軸の負の向きに速さ $\frac{1}{2}c$ で、それぞれ等速直線運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さである。宇宙船 A とともに動く慣性系から見た宇宙船 B の速さは $c$ の何倍か。分数で答えよ。ただし、特殊相対論に従うものとし、重力の影響は考えない。

ある天体が、地球に静止した観測者（慣性系に静止しているとする）に向かって、観測者と天体を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で近づいている。天体は、天体とともに動く慣性系で測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出している。観測者がこの光の波長を測ったところ $\frac{3}{5}{\lambda }_0$ であった。真空中の光の速さを $c$ とし、光は真空中を伝わるものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。