特殊相対論の問題

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で運動している。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行で、$S^{\prime }$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に動いているものとする。宇宙船から探査機が、$S^{\prime }$ 系で測って $y^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で発射された。ここで $c$ は真空中の光の速さである。発射後、探査機は等速度運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、$S$ と $S^{\prime }$ の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なり、$y$ 軸と $y^{\prime }$ 軸はつねに平行であるとする。$S^{\prime }$ 系に静止している宇宙船から、探査機が $S^{\prime }$ 系で見て $y^{\prime }$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で発射された。発射後、探査機は等速直線運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を含む正確な値で答えよ。

宇宙空間に静止した宇宙ステーションがあり、これとともに動く慣性系を $S$ とする。真空中の光の速さを $c$ とする。ステーションから探査機 1 を、$S$ 系で測って速さ $\frac{1}{2}c$ で $x$ 軸の正の向きに発射した。次に、探査機 1 から探査機 2 を、探査機 1 とともに動く慣性系で測って速さ $\frac{1}{2}c$ で $x$ 軸の正の向きに発射した。さらに、探査機 2 から探査機 3 を、探査機 2 とともに動く慣性系で測って速さ $\frac{1}{2}c$ で $x$ 軸の正の向きに発射した。発射後の各探査機は等速直線運動をし、各探査機とともに動く座標系は慣性系とみなせるものとする。$S$ 系で測った探査機 3 の速さを $u_3$ とするとき、$\frac{u_3}{c}$ を既約分数で求めよ。

実験室系（慣性系）$S$ で静止していた原子核が崩壊し、2 個の同じ種類の粒子 A, B が生じた。$S$ 系で見ると、A は $x$ 軸の負の向きに、B は $x$ 軸の正の向きに、同じ一定の速さ $u$ で直線運動をした（$0<u<c$）。ここで $c$ は真空中の光の速さである。A とともに動く慣性系で測ると、B の速さは $\frac{12}{13}c$ であった。比 $\frac{u}{c}$ を既約分数で求めよ。

ある天体が、地球に静止した観測者（慣性系に静止しているとする）に向かって、観測者と天体を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で近づいている。天体は、天体とともに動く慣性系で測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出している。観測者がこの光の波長を測ったところ $\frac{3}{5}{\lambda }_0$ であった。真空中の光の速さを $c$ とし、光は真空中を伝わるものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。