地球に固定した慣性系 で、 軸に沿って運動する 2 機の宇宙船 A, B を考える。 系で見ると、宇宙船 A は 軸の正の向きに速さ で、宇宙船 B は 軸の負の向きに速さ で、それぞれ等速直線運動している。ここで は真空中の光の速さである。宇宙船 A とともに動く慣性系から見た宇宙船 B の速さは の何倍か。分数で答えよ。ただし、特殊相対論に従うものとし、重力の影響は考えない。
特殊相対論
扱うテーマ: ローレンツ変換と時間の遅れ・長さの収縮、速度の合成、4 元運動量と相対論的エネルギー、粒子の衝突・崩壊のしきいエネルギーと不変質量、ドップラー効果（相対論的）
難易度の目安（大学物理）
- 難易度 1 教科書の例題レベル
- 難易度 2 教科書の演習問題レベル
- 難易度 3 期末試験の応用レベル
- 難易度 4 大学院入試の標準レベル
- 難易度 5 大学院入試の難問レベル
宇宙船が、地球上の観測者から見て、観測者と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ で観測者から遠ざかっている。宇宙船は、宇宙船とともに動く慣性系で測って振動数 の電磁波を観測者に向けて出している。観測者がこの電磁波を受けて測った振動数は であった。 は真空中の光の速さ の何倍か。分数で答えよ。ただし、特殊相対論に従うものとし、地球に固定した系は慣性系とみなし、重力の影響は考えない。
慣性系 と、 に対して 軸の正の向きに一定の速さ で動く慣性系 がある。両者の 軸と 軸は重なっていて、 のとき両者の原点は一致していたとする。光速を とする。
で時刻 （）、位置 で起きた事象について、ローレンツ変換
を用いて、 での時刻 と位置 を求めよ。ただし は 単位、 は 単位の正確な値で、組 の形で答えよ。地上に固定した慣性系 の 軸上で、位置 の事象 A と、位置 の事象 B が、 で同時刻に起こった。 に対して 軸の正の向きに一定の速さ で動く宇宙船に固定した慣性系 （ 軸は 軸と重なり、同じ向き）で見たときの、事象 A, B の時刻をそれぞれ , とする。光速を とする。
時刻の差 を、（）単位の正確な値（分数）で求めよ。
ある不安定粒子は、静止しているとき（粒子とともに動く時計で測ったとき）、生成されてから 後に崩壊する。この粒子が、実験室に固定した慣性系に対して一定の速さ で一直線上を運動している。光速を とし、与えられた数値は正確な値として扱う。
粒子が生成されてから崩壊するまでに、実験室系で進む距離を 単位の正確な値で求めよ。
宇宙船の静止系で測った宇宙船の全長（固有長）は である。この宇宙船が、宇宙空間に静止している観測者 P（P に固定した系は慣性系とする）に対して、船の長さの向きに一定の速さ で一直線に進み、P のすぐそばを通過する。光速を とし、与えられた数値は正確な値として扱う。
P の系で測って、宇宙船の先端が P の位置を通過してから後端が P の位置を通過するまでの時間を、（）単位の正確な値（分数）で求めよ。
地球に固定した慣性系 に対して、宇宙船が 軸の正の向きに一定の速さ で進んでいる。宇宙船に固定した慣性系 （ 軸は 軸と同じ向き）で見て、宇宙船から探査機が 軸の正の向きに速さ で発射され、その後一定の速度で進む。 は真空中の光速である。
地球の系 から見た探査機の速さ は の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。
慣性系 に対して、慣性系 が 軸の正の向きに一定の速さ で動いている（ 軸は 軸と重なって同じ向き、 軸は 軸と平行で同じ向き）。 で見て、ある粒子が速度の成分 , で等速直線運動をしている。 は真空中の光速である。
で見たこの粒子の速度の 成分 は の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。
地球に固定した慣性系 で静止していた探査機が、次のように 3 段階で加速する。1 段目の加速で、探査機は に対して一直線上を速さ で進むようになる。その後の各段階では、直前の段階を終えた（加速前の）探査機の静止系から見て、同じ向きに速さ だけ速くなる（つまり、直前の静止系に対して速さ で進むようになる）。各段階の加速は一瞬で終わり、各段階の間は等速直線運動をするものとする。 は真空中の光速である。
ラピディティ を （ただし ）で定めると、同じ向きの速度の合成ではラピディティが足し算になる。このことを用いて、3 段階の加速を終えたあとの探査機の に対する速さは の何倍か、正確な値（分数）で求めよ。
遠方の天体が、地球から見て視線方向（地球と天体を結ぶ直線の向き）に一定の速さ で遠ざかっている。この天体の静止系で波長 の光として放たれたスペクトル線が、地球では波長 として観測された。光源が遠ざかるときの相対論的ドップラー効果の式
を用いて、 を正確な値（分数）で求めよ。ここで は光源の静止系での振動数、 は地球で観測される振動数、 は真空中の光速である。与えられた数値は正確な値として扱い、地球は慣性系とみなす。静止エネルギーが の粒子が、加速器で加速されて運動エネルギー をもって直線運動している。 は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
関係式 と を用いて、この粒子の運動量の大きさ に を掛けた量 を 単位で求めよ。
慣性系 で、ある粒子が 軸の正の向きに運動しており、そのエネルギーは 、運動量の 成分は （, 成分は ）である。 に対して 軸の正の向きに一定の速さ で動く慣性系 （ 軸は 軸と重なり同じ向き）から、この粒子を見る。 は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
4 元運動量 のローレンツ変換
を用いて、 での粒子のエネルギー を 単位で求めよ。実験室系（慣性系とする）で、2 個の光子が 軸上を互いに逆向きに進んでいる。光子 A はエネルギー で 軸の正の向きに、光子 B はエネルギー で 軸の負の向きに進む。光子では が成り立つ。 は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
この 2 光子からなる系の不変質量 について、 を 単位で求めよ。ただし である。
実験室系（慣性系とする）で静止している、静止エネルギー の粒子 X が、静止エネルギー の粒子 1 と、静止エネルギー の粒子 2 の 2 つだけに崩壊した。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存される。 は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
崩壊後の粒子 1 の全エネルギー を 単位で求めよ。
実験室系（慣性系とする）で静止している電子に、エネルギー の光子 1 個を当てて、電子・陽電子対を生成する反応
を起こしたい。電子と陽電子の質量はどちらも で、静止エネルギーは である。光子では が成り立ち、反応の前後で全エネルギーと全運動量が保存される。 は真空中の光速である。この反応が起こるための光子のエネルギー の最小値（しきいエネルギー）は、 の何倍か。
実験室系（慣性系とする）で、静止エネルギー の粒子 A が、全エネルギー （運動量の大きさ ）で 軸の正の向きに進み、静止している静止エネルギー の粒子 B に衝突して弾性散乱する（衝突の前後で粒子の種類と静止エネルギーは変わらず、全エネルギーと全運動量が保存される）。 は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
散乱の向きによって、粒子 B が受け取る運動エネルギーは変わる。粒子 B が受け取る運動エネルギーの最大値を 単位で求めよ。
ある慣性系（実験室系）で、質量 の粒子 A が運動エネルギー で 軸の正の向きに進み、静止している同じ質量 の粒子 B に向かっている。ここで は真空中の光の速さである。A と B の 2 粒子をあわせた系の不変質量 （2 粒子の 4 元運動量の和を としたとき から決まる質量で、 を満たす ）を、 を用いて表せ。ただし、特殊相対論に従うものとし、2 粒子の間の相互作用は衝突前には無視できるものとする。
慣性系 に対して、宇宙船が 軸の正の向きに一定の速さ で運動している。宇宙船とともに動く慣性系を とし、 の 軸・ 軸はそれぞれ の 軸・ 軸と平行で、 は に対して 軸方向に動いているものとする。宇宙船から探査機が、 系で測って 軸の正の向きに速さ で発射された。ここで は真空中の光の速さである。発射後、探査機は等速度運動をするものとする。 系で測った探査機の速さは の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。
不安定な粒子が、生成されてから自身の静止系で測って時間 だけたったときに崩壊する。この粒子が実験室系（慣性系）で生成され、直後から一定の速さ で直線運動をした。ここで は真空中の光の速さである。実験室系で測って、粒子が生成されてから崩壊するまでに進む距離は の何倍か。分数で答えよ。
ある天体が、地球に静止した観測者（慣性系に静止しているとする）に向かって、観測者と天体を結ぶ直線に沿って一定の速さ で近づいている。天体は、天体とともに動く慣性系で測って波長 の光を出している。観測者がこの光の波長を測ったところ であった。真空中の光の速さを とし、光は真空中を伝わるものとする。 を分数で求めよ。
ある慣性系で、未知の粒子 X が崩壊して 2 個の光子だけが生じた。この慣性系で測ると、2 個の光子のエネルギーはそれぞれ と で、2 個の光子の進む向きのなす角は であった。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、光子の質量は 、真空中の光の速さを とする。粒子 X の質量を とするとき、静止エネルギー は何 か。整数で答えよ。
慣性系 に静止した長さ のまっすぐな棒が 平面内にあり、 軸と角 をなしている。 系は慣性系 に対して 軸の正の向きに一定の速さ で動いており、 の 軸・ 軸はそれぞれ の 軸・ 軸と平行である。ここで は真空中の光の速さである。 系で（ 系の同時刻に両端の位置を測って）求めた棒の長さは の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。
慣性系 に対して、宇宙船が 軸の正の向きに一定の速さ で運動している（）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ で発射したところ、 系で測った探査機の速度は 軸の正の向きに であった。ここで は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。 を分数で求めよ。
ある慣性系で、未知の粒子 X が崩壊して、質量 の粒子 2 個だけが生じた。この慣性系で測ると、生じた 2 個の粒子の全エネルギーはどちらも で、2 個の粒子の運動の向きは互いに垂直であった。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、真空中の光の速さを とする。粒子 X の質量を とするとき、 を根号を用いた正確な値で求めよ。
地球と恒星 P は互いに静止しており、この 2 つが静止している慣性系で測った地球と P の距離は 光年である。宇宙船が地球のそばを通過した瞬間から一定の速さ で P に向かってまっすぐ進み、P のそばを通過した。宇宙船に積んだ時計で測ると、地球のそばを通過してから P のそばを通過するまでの時間は 年であった。 光年は光が真空中を 年かけて進む距離であり、真空中の光の速さを とする。 を分数で求めよ。
地上に固定した慣性系 の 軸上の原点に標識が静止している。宇宙船が 軸に沿って 軸の正の向きに一定の速さ （、 は未知）で運動しながら、標識のすぐそばを通過する。宇宙船とともに動く慣性系を とし、宇宙船の長さは 系で測って である。宇宙船の前端と後端にはそれぞれ時計が取り付けてあり、2 つの時計は 系で同期されている。
標識のそばに置いた 系の時計で測ると、宇宙船の前端が標識を通過してから後端が標識を通過するまでの時間は であった。
前端が標識を通過した瞬間の前端の時計の読みと、後端が標識を通過した瞬間の後端の時計の読みの差（後者から前者を引いたもの）を、, , を用いて表せ。ここで は真空中の光の速さである。
地上局は慣性系に静止しており、宇宙船は地上局と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ で地上局に近づいている。ここで は真空中の光の速さである。地上局は、地上局の静止系で測って振動数 の電磁波を宇宙船に向けて送り続けている。宇宙船に積まれた中継器は、受信した電磁波の振動数を宇宙船の静止系で測ってちょうど 倍（ は正の定数）にした電磁波を、ただちに地上局に向けて送り返す。地上局がこの送り返された電磁波を受信して測った振動数は であった（）。電磁波は真空中を進むものとし、重力の影響は無視する。宇宙船の速さ を を用いて表せ。
ある慣性系（実験室系）で、質量 の粒子 A が静止している。エネルギー の光子が A に入射して完全に吸収され、1 個の粒子 X だけができた。吸収の前後で全エネルギーと運動量（4 元運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを とする。粒子 X の質量を , , を用いて表せ。
実験室系（慣性系） で静止していた原子核が崩壊し、2 個の同じ種類の粒子 A, B が生じた。 系で見ると、A は 軸の負の向きに、B は 軸の正の向きに、同じ一定の速さ で直線運動をした（）。ここで は真空中の光の速さである。A とともに動く慣性系で測ると、B の速さは であった。比 を既約分数で求めよ。
実験室系（慣性系）で、質量 の粒子 A が運動エネルギー で進み、静止している質量 の粒子 B に衝突して、反応
が起こる場合を考える。生じる粒子 C, D の質量はどちらも であり、ほかの粒子は生じない。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを 、 とする。この反応が起こりうる の最小値（しきいエネルギー）で反応が起こったとき、実験室系で測った粒子 C の速さは光の速さ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。
ある慣性系で、エネルギー の光子 1 とエネルギー の光子 2 が衝突し、電子と陽電子が 1 個ずつ生じる反応 を考える。この慣性系で、衝突直前の 2 個の光子の進む向きのなす角は である。電子と陽電子の質量はどちらも 、真空中の光の速さを とする。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとする。光子 2 のエネルギー と、2 個の光子の進む向きのなす角 はどちらも変えずに、光子 1 のエネルギー だけを変えるとき、この反応が起こりうる の最小値を を用いて表せ。
宇宙空間に静止した宇宙ステーションがあり、これとともに動く慣性系を とする。真空中の光の速さを とする。ステーションから探査機 1 を、 系で測って速さ で 軸の正の向きに発射した。次に、探査機 1 から探査機 2 を、探査機 1 とともに動く慣性系で測って速さ で 軸の正の向きに発射した。さらに、探査機 2 から探査機 3 を、探査機 2 とともに動く慣性系で測って速さ で 軸の正の向きに発射した。発射後の各探査機は等速直線運動をし、各探査機とともに動く座標系は慣性系とみなせるものとする。 系で測った探査機 3 の速さを とするとき、 を既約分数で求めよ。
地上に静止した観測所（慣性系 に静止しているとする）から、振動数 の電磁波を、観測所から一直線に遠ざかる宇宙船に向けて送る。宇宙船は 系に対して観測所と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ で遠ざかっており、後部に進行方向と垂直に取り付けた平面鏡で電磁波を真後ろ（観測所の向き）に反射する。観測所が受け取った反射波の振動数を測ったところ であった。真空中の光の速さを とし、電磁波は真空中を伝わるものとする。 を分数で求めよ。
ある慣性系で静止している質量 の粒子 X が、質量 の粒子 Y と質量 の粒子 Z の 2 つに崩壊した（ とする）。崩壊の前後で 4 元運動量（エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを とする。この慣性系で測った粒子 Y の運動エネルギーを、, , を用いて表せ。
慣性系 に静止していた探査機が、次のように段階的に加速する。第 段階（）では、直前の段階の終わりに探査機が静止していた慣性系 から見て、探査機が 軸の正の向きに速さ で動くようになる。この状態の探査機が静止する慣性系を とする。加速はすべて 軸に沿っており、加速にかかる時間は考えない。ここで は真空中の光の速さである。 を正の整数とするとき、第 段階を終えた探査機の、 系で測った速さ について、 を の式で表せ。
地上に固定した慣性系 に対して、列車が 軸の正の向きに一定の速さ で走っている。列車とともに動く慣性系を とし、列車の長さは 系で測って である。列車の前端と後端にはそれぞれランプが取り付けられており、2 つのランプは 系で同時刻に一瞬だけ光った。ここで は真空中の光の速さである。 系で測った、2 つのランプが光った時刻の差の大きさは の何倍か。分数で答えよ。
慣性系 は慣性系 に対して 軸の正の向きに一定の速さ で動いており、 の 軸・ 軸はそれぞれ の 軸・ 軸と平行である。 系で見ると、ある粒子が 平面内を速さ で等速直線運動しており、その速度の向きは 軸の正の向きから 軸の正の向きへ角 だけ回した向きである。ここで は真空中の光の速さである。 系で見たこの粒子の速度の向きが 軸の正の向きとなす角を （）とするとき、 を分数で求めよ。
慣性系 に静止した観測者がいる。光源が 系で直線上を一定の速さ で運動しており、光源は自身の静止系で測って振動数 の光を出し続けている。観測者は光源の運動する直線上にはない。 系で見て、光源から観測者に向かって進む光の向きと光源の速度の向きのなす角を （）とする（ は光が光源から出た時点での値とする）。観測者が受け取る光の振動数がちょうど に等しくなるときの の値を分数で求めよ。ここで は真空中の光の速さであり、光は真空中を伝わるものとする。
慣性系 に対して、慣性系 が 軸の正の向きに一定の速さ で運動している。ここで は真空中の光の速さであり、 と の 軸と 軸は重なり、 軸と 軸はつねに平行であるとする。 系に静止している宇宙船から、探査機が 系で見て 軸の正の向きに一定の速さ で発射された。発射後、探査機は等速直線運動をするものとする。 系で測った探査機の速さは の何倍か。根号を含む正確な値で答えよ。
実験室系（慣性系）で、静止している質量 の粒子 B に、質量 の粒子 A が衝突し、反応
によって質量 の新しい粒子 C が生成される場合を考える（）。反応の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、真空中の光の速さを とする。粒子 A の運動エネルギーが、この反応が起こりうる最小の値（しきい値）であったとき、実験室系で測った生成直後の粒子 C の速さを を用いて表せ。
慣性系 は慣性系 に対して 軸の正の向きに一定の速さ で運動している（）。 は真空中の光の速さである。 と の 軸と 軸は重なり、 軸と 軸は平行で、 に両者の原点は一致しているものとする。
系で見ると、長さ の細い棒が 軸に平行な向きを保ったまま、 軸の正の向きに一定の速さ で運動している（）。具体的には、 系で棒の一端 A は 、他端 B は にあり、両端の 座標はどちらも である。
系で同時刻に測った棒の両端 A, B の間の距離（ 系で測った棒の長さ）を、 を用いて表せ。
実験室系（慣性系）で、質量 の粒子 A が運動エネルギー で、静止している質量 の粒子 B に衝突し、弾性散乱する（衝突後も A, B は同じ粒子のままで、ほかの粒子は生じない）。, , とし、衝突の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとする。真空中の光の速さを とする。散乱の向きはいろいろありうる。衝突後に粒子 B が実験室系で得る運動エネルギーの最大値を、, , , を用いて表せ。
ある慣性系で、エネルギー の高エネルギー光子と、エネルギー の低エネルギー光子が衝突し、電子と陽電子の対を生成する反応
を考える。この慣性系で測った 2 個の光子の進む向きのなす角を （）とする。電子と陽電子の質量はともに 、光子の質量は とし、反応の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとする。真空中の光の速さを とする。 と を固定したとき、この反応が起こるための の最小値を、, , , を用いて表せ。
条件に合う問題はありません。