特殊相対論の問題

地球に固定した慣性系 $S$ で、$x$ 軸に沿って運動する 2 機の宇宙船 A, B を考える。$S$ 系で見ると、宇宙船 A は $x$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で、宇宙船 B は $x$ 軸の負の向きに速さ $\frac{1}{2}c$ で、それぞれ等速直線運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さである。宇宙船 A とともに動く慣性系から見た宇宙船 B の速さは $c$ の何倍か。分数で答えよ。ただし、特殊相対論に従うものとし、重力の影響は考えない。

ある天体が、地球に静止した観測者（慣性系に静止しているとする）に向かって、観測者と天体を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で近づいている。天体は、天体とともに動く慣性系で測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出している。観測者がこの光の波長を測ったところ $\frac{3}{5}{\lambda }_0$ であった。真空中の光の速さを $c$ とし、光は真空中を伝わるものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

地上局は慣性系に静止しており、宇宙船は地上局と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ $(0<v<c)$ で地上局に近づいている。ここで $c$ は真空中の光の速さである。地上局は、地上局の静止系で測って振動数 $f_0$ の電磁波を宇宙船に向けて送り続けている。宇宙船に積まれた中継器は、受信した電磁波の振動数を宇宙船の静止系で測ってちょうど $k$ 倍（$k$ は正の定数）にした電磁波を、ただちに地上局に向けて送り返す。地上局がこの送り返された電磁波を受信して測った振動数は $f_1$ であった（$f_1>k{f}_0$）。電磁波は真空中を進むものとし、重力の影響は無視する。宇宙船の速さ $v$ を $c,f_0,f_1,k$ を用いて表せ。

地球に固定した慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{1}{2}c$ で進んでいる。宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）で見て、宇宙船から探査機が $x^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $u^{\prime }=\frac{3}{5}c$ で発射され、その後一定の速度で進む。$c$ は真空中の光速である。

地球の系 $S$ から見た探査機の速さ $u$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

宇宙船の静止系で測った宇宙船の全長（固有長）は $L_0=150\mathrm{m}$ である。この宇宙船が、宇宙空間に静止している観測者 P（P に固定した系は慣性系とする）に対して、船の長さの向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で一直線に進み、P のすぐそばを通過する。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

P の系で測って、宇宙船の先端が P の位置を通過してから後端が P の位置を通過するまでの時間を、$\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）単位の正確な値（分数）で求めよ。