相対論的ドップラー効果

光源と観測者が近づく・遠ざかるときの振動数の比 $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 \mp β}{1 \pm β}$ （ $β = v / c$ ）を使って、観測された振動数・波長から速さを求め、動く鏡で反射した光の振動数（比を 2 回かける）を求められる

前提

時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）
ドップラー効果（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）
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ドップラー効果（高校物理波動）

説明

光源と観測者が一直線上で近づいたり遠ざかったりするとき、観測される光の振動数 $f$ と、光源の静止系での振動数 $f_{0}$ の比を求める技能です。 $β = v / c$ （ $v$ は光源と観測者の相対速度の大きさ）として、遠ざかるときは $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 - β}{1 + β}$ 、近づくときは $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 + β}{1 - β}$ です。遠ざかる銀河の光の波長が伸びる「赤方偏移」から速さを求めたり、動く鏡やレーダーで反射した光の振動数を求めたりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

観測者の静止している慣性系で考えます。光源が観測者から速さ $v$ で遠ざかっているとします。光源は自分の静止系（固有時）で周期 $T_{0} = 1/ f_{0}$ ごとに波の山を出します。時間の遅れにより、観測者の系ではこの間隔は $γ T_{0}$ （ $γ = 1/ 1 - β^{2}$ ）です。その間に、1 つ前の山は速さ $c$ で $c γ T_{0}$ 進み、光源は反対向きに $v γ T_{0}$ 進みます。したがって観測者の系での山と山の間隔（波長）は $λ = (c + v) γ T_{0}$ で、観測者に届く周期は
$T = \frac{λ}{c} = γ (1 + β) T_{0}$
です。よって
$\frac{f}{f _{0}} = \frac{1}{γ ( 1 + β )} = \frac{( 1 - β ) ( 1 + β )}{1 + β} = \frac{1 - β}{1 + β}$
となります。近づくときは $v$ を $- v$ に変えて $\frac{1 + β}{1 - β}$ です。

音のドップラー効果 $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{V - v _{s}} f$ との違いは、(1) 光には媒質がなく、光源が動く場合と観測者が動く場合を区別できない（相対速度 $v$ だけで決まる）こと、(2) 時間の遅れの因子 $γ$ が入ることです。 $β$ が小さいときは $\frac{1 - β}{1 + β} \approx 1 - β$ となり、音の式と同じ形に近づきます。

光の速さは $c = f λ$ でどの系でも同じなので、波長の比は振動数の比の逆数 $\frac{λ}{λ _{0}} = \frac{f _{0}}{f}$ です。動く鏡での反射は、(i) 鏡が受け取る振動数（鏡を観測者とみる）と、(ii) 鏡がその振動数で光を出し直したときに元の観測者が受け取る振動数（鏡を光源とみる）の 2 段階なので、比を 2 回かけます。鏡が遠ざかるなら $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 - β}{1 + β}$ です。

手順

光源と観測者の相対速度の大きさ $v$ から $β = v / c$ を決め、両者が近づいているか遠ざかっているかを判断する
遠ざかるなら $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 - β}{1 + β}$ 、近づくなら $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 + β}{1 - β}$ を選ぶ（近づくと振動数が大きくなる）
波長が与えられているときは $\frac{λ}{λ _{0}} = \frac{f _{0}}{f}$ と振動数の比に直す
求めたいもの（ $f$ または $β$ ）について解く。 $β$ を求めるときは両辺を 2 乗してから解く
動く鏡で反射するときは、鏡が受ける振動数と鏡から戻る振動数の 2 段階に分け、比を 2 回かける

例題

ある銀河から届いた光を地球で観測したところ、銀河の静止系で波長 $λ_{0}$ の光が、波長 $2 λ_{0}$ として観測された。銀河は地球から視線方向にまっすぐ遠ざかっているとして、銀河の地球に対する速さは光の速さ $c$ の何倍か。分数で求めよ。ただし宇宙膨張の効果は考えず、特殊相対論のドップラー効果だけで説明できるものとする。

例題の解答

手順1: 銀河は遠ざかっているので、速さを $v = β c$ とおく。

手順2: 遠ざかるときの式 $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 - β}{1 + β}$ を使う。

手順3: 波長の比は振動数の比の逆数なので
$\frac{λ}{λ _{0}} = \frac{f _{0}}{f} = \frac{1 + β}{1 - β} = 2$

手順4: 両辺を 2 乗して $\frac{1 + β}{1 - β} = 4$ 。 $1 + β = 4 - 4 β$ より $5 β = 3$ 、 $β = \frac{3}{5}$ 。 $0 < β < 1$ を満たしている。

よって銀河の速さは $c$ の $\frac{3}{5}$ 倍である。

答え: $\frac{3}{5}$

よくある誤り

音のドップラー効果の式をそのまま使って $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1}{1 + β}$ や $1 - β$ としてしまう誤り。光では時間の遅れの因子が入り、正しくは遠ざかるとき $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 - β}{1 + β}$ である（例題で $\frac{1}{1 - β} = 2$ とすると誤って $β = \frac{1}{2}$ になる）。
波長の比を振動数の比と同じ式で書いてしまう誤り。 $c = f λ$ が一定なので $\frac{λ}{λ _{0}} = \frac{f _{0}}{f}$ で、遠ざかるとき $\frac{λ}{λ _{0}} = \frac{1 + β}{1 - β} > 1$ （波長が伸びる）となる。
近づく・遠ざかるの式を取り違える誤り。近づくときは振動数が大きくなるので $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 + β}{1 - β} > 1$ 、遠ざかるときは $\frac{1 - β}{1 + β} < 1$ である。
動く鏡での反射で比を 1 回しかかけない誤り。鏡が速さ $v$ で近づくとき、鏡が受ける光と鏡から戻る光の 2 段階で変化するので $\frac{f}{f _{0}} = \frac{1 + β}{1 - β}$ （根号が外れる）となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

運動する観測者から見た背景放射（大学物理宇宙物理・宇宙論）