特殊相対論の問題

ある天体が、地球に静止した観測者（慣性系に静止しているとする）に向かって、観測者と天体を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で近づいている。天体は、天体とともに動く慣性系で測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出している。観測者がこの光の波長を測ったところ $\frac{3}{5}{\lambda }_0$ であった。真空中の光の速さを $c$ とし、光は真空中を伝わるものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

慣性系 $S$ に静止した観測者がいる。光源が $S$ 系で直線上を一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で運動しており、光源は自身の静止系で測って振動数 $f_0$ の光を出し続けている。観測者は光源の運動する直線上にはない。$S$ 系で見て、光源から観測者に向かって進む光の向きと光源の速度の向きのなす角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とする（$\theta$ は光が光源から出た時点での値とする）。観測者が受け取る光の振動数がちょうど $f_0$ に等しくなるときの $\cos \theta$ の値を分数で求めよ。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、光は真空中を伝わるものとする。

地上局は慣性系に静止しており、宇宙船は地上局と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ $(0<v<c)$ で地上局に近づいている。ここで $c$ は真空中の光の速さである。地上局は、地上局の静止系で測って振動数 $f_0$ の電磁波を宇宙船に向けて送り続けている。宇宙船に積まれた中継器は、受信した電磁波の振動数を宇宙船の静止系で測ってちょうど $k$ 倍（$k$ は正の定数）にした電磁波を、ただちに地上局に向けて送り返す。地上局がこの送り返された電磁波を受信して測った振動数は $f_1$ であった（$f_1>k{f}_0$）。電磁波は真空中を進むものとし、重力の影響は無視する。宇宙船の速さ $v$ を $c,f_0,f_1,k$ を用いて表せ。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って $x$ 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ $\frac{1}{2}c$ で発射したところ、$S$ 系で測った探査機の速度は $x$ 軸の正の向きに $\frac{1}{4}c$ であった。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、$S$ と $S^{\prime }$ の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なり、$y$ 軸と $y^{\prime }$ 軸はつねに平行であるとする。$S^{\prime }$ 系に静止している宇宙船から、探査機が $S^{\prime }$ 系で見て $y^{\prime }$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で発射された。発射後、探査機は等速直線運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を含む正確な値で答えよ。