特殊相対論の問題

地上に静止した観測所（慣性系 $S$ に静止しているとする）から、振動数 $f_0$ の電磁波を、観測所から一直線に遠ざかる宇宙船に向けて送る。宇宙船は $S$ 系に対して観測所と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で遠ざかっており、後部に進行方向と垂直に取り付けた平面鏡で電磁波を真後ろ（観測所の向き）に反射する。観測所が受け取った反射波の振動数を測ったところ $\frac{f_0}{4}$ であった。真空中の光の速さを $c$ とし、電磁波は真空中を伝わるものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

慣性系 $S^{\prime }$ は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{1}{2}c$ で動いており、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行である。$S^{\prime }$ 系で見ると、ある粒子が $x^{\prime }{y}^{\prime }$ 平面内を速さ $\frac{1}{2}c$ で等速直線運動しており、その速度の向きは $x^{\prime }$ 軸の正の向きから $y^{\prime }$ 軸の正の向きへ角 $\frac{\pi }{3}$ だけ回した向きである。ここで $c$ は真空中の光の速さである。$S$ 系で見たこの粒子の速度の向きが $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）とするとき、$\tan \theta$ を分数で求めよ。

ある天体が、地球に静止した観測者（慣性系に静止しているとする）に向かって、観測者と天体を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で近づいている。天体は、天体とともに動く慣性系で測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出している。観測者がこの光の波長を測ったところ $\frac{3}{5}{\lambda }_0$ であった。真空中の光の速さを $c$ とし、光は真空中を伝わるものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、$S$ と $S^{\prime }$ の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なり、$y$ 軸と $y^{\prime }$ 軸はつねに平行であるとする。$S^{\prime }$ 系に静止している宇宙船から、探査機が $S^{\prime }$ 系で見て $y^{\prime }$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で発射された。発射後、探査機は等速直線運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を含む正確な値で答えよ。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って $x$ 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ $\frac{1}{2}c$ で発射したところ、$S$ 系で測った探査機の速度は $x$ 軸の正の向きに $\frac{1}{4}c$ であった。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。