ドップラー効果

音源・観測者が一直線上を動くとき、 $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{V - v _{s}} f$ （向きに応じて符号を決める）を使って観測者が聞く振動数や波長を求められる

前提

波の要素と波の基本式（高校物理波動）

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音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）

説明

音源（音を出すもの）や観測者（音を聞く人）が動いていると、観測者に聞こえる音の振動数が、音源が出している振動数と変わります。これをドップラー効果といいます。救急車が近づくときはサイレンが高く聞こえ、遠ざかるときは低く聞こえるのがその例です。この技能を使うと、音源と観測者が一直線上を動くときに、観測者が聞く振動数 $f^{'}$ や、空気中を伝わる音の波長を計算できます。

なぜそうしてよいのか

音源が振動数 $f$ の音を出すと、1 秒間に $f$ 個の波が送り出されます。音の速さを $V$ とし、音源から観測者へ向かう向きを正とします。音源がその向きに速度 $v_{s}$ で動いているとします。1 秒間に最初の波の先端は $V$ だけ進み、音源は $v_{s}$ だけ進みます。そのため、この 1 秒間に出した $f$ 個の波は、長さ $V - v_{s}$ の区間に詰め込まれます。よって観測者側へ進む音の波長は $λ^{'} = \frac{V - v _{s}}{f}$ です。音源が近づく（ $v_{s} > 0$ ）と波長が縮み、遠ざかる（ $v_{s} < 0$ ）と波長が伸びます。

次に、観測者が同じ向きに速度 $v_{o}$ で動いているとします。観測者から見ると、音は速さ $V - v_{o}$ で自分を追い越していきます。1 秒間に観測者を通り過ぎる波の数が、聞こえる振動数 $f^{'}$ です。波の基本式 $v = f λ$ を「1 秒間に通過する長さ ÷ 1 個の波の長さ」と読めば、 $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{λ ^{'}}$ となります。

この 2 つをまとめると $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{V - v _{s}} f$ が得られます。観測者が動いても、空気中の波長そのものは変わりません。変わるのは、1 秒間に出会う波の数です。一方、音源が動くと波長そのものが変わります。ここでは風がなく、 $v_{s}$ と $v_{o}$ の大きさは $V$ より小さいとしています。

手順

向きを決める：「音源から観測者へ向かう向き」を正とする。
音源の速度 $v_{s}$ と観測者の速度 $v_{o}$ を、この向きに合わせて符号付きで書く。正の向きに動くなら正、逆向きなら負、静止なら $0$ とする。
必要なら、観測者側へ進む音の波長を $λ^{'} = \frac{V - v _{s}}{f}$ で求める。
公式 $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{V - v _{s}} f$ に代入して計算する。
結果を確かめる：近づき合うなら $f^{'} > f$ 、遠ざかり合うなら $f^{'} < f$ になっているか見る。

例題

風のない空気中で、振動数 $600 Hz$ の音を出す音源と観測者が一直線上にいる。音源は観測者に向かって速さ $40 m/s$ で動き、観測者は音源に向かって速さ $10 m/s$ で動いている。音の速さを $340 m/s$ とするとき、観測者が聞く音の振動数は何 Hz か。

例題の解答

手順1：音源から観測者へ向かう向きを正とする。

手順2：速度を符号付きで書く。音源は観測者に向かうので、正の向きに動いており $v_{s} = + 40 m/s$ 。観測者は音源に向かうので、負の向きに動いており $v_{o} = - 10 m/s$ 。

手順3：観測者側の波長は $λ^{'} = \frac{340 - 40}{600} = 0.50 m$ である。

手順4：公式に代入する。 $f^{'} = \frac{V - v _{o}}{V - v _{s}} f = \frac{340 - ( - 10 )}{340 - 40} \times 600 = \frac{350}{300} \times 600 = 700 Hz$
（手順3の波長からも、 $f^{'} = \frac{350}{0.50} = 700 Hz$ と確かめられる。）

手順5：両者は近づき合っているので、 $f^{'} = 700 > 600$ で高く聞こえる。答えとして妥当である。

答え: $700$

よくある誤り

「近づくから正」と、動きの意味で符号を決めてしまう誤り。正しくは、向きを「音源→観測者」に固定し、各速度をその向きの成分として符号付きで入れる。例題では $v_{s} = + 40$ 、 $v_{o} = - 10$ である。 $v_{o} = + 10$ とすると $\frac{330}{300} \times 600 = 660 Hz$ という誤った値になる。
分子と分母を逆にして $f^{'} = \frac{V - v _{s}}{V - v _{o}} f$ としてしまう誤り。正しくは、観測者の速度は分子 $V - v_{o}$ に、音源の速度は分母 $V - v_{s}$ に入る。 $λ^{'} = \frac{V - v _{s}}{f}$ が分母の由来だと覚えておくとよい。
観測者が動くと空気中の波長も変わると考え、 $λ^{'} = \frac{V - v _{o}}{f}$ などとしてしまう誤り。正しくは、波長を変えるのは音源の運動だけで、 $λ^{'} = \frac{V - v _{s}}{f}$ である。観測者の運動が変えるのは、1 秒間に出会う波の数、つまり振動数だけである。
音源が動くと音の速さも変わると考え、 $V + v_{s}$ を音速として使ってしまう誤り。正しくは、風がなければ空気に対する音の速さは音源の速度によらず $V$ のままである。変わるのは波長である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
まっすぐな道路の脇に、人 $O$ が静止して立っている。振動数 $480 Hz$ の音を出し続けるスピーカーを積んだ自動車が、この道路を一定の速さ $20 m/s$ で $O$ に向かって近づいてくる。 $O$ は道路のすぐ脇にいるので、自動車は $O$ に向かって一直線に近づいているとみなしてよい。音速を $340 m/s$ とし、風はないものとする。
自動車が $O$ に近づいているあいだに、 $O$ が聞く音の振動数は何 $Hz$ か。
$O$ $480 Hz$ $20 m/s$

この技能の次に学べること

相対論的ドップラー効果（大学物理特殊相対論）