特殊相対論の問題

地上に静止した観測所（慣性系 $S$ に静止しているとする）から、振動数 $f_0$ の電磁波を、観測所から一直線に遠ざかる宇宙船に向けて送る。宇宙船は $S$ 系に対して観測所と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で遠ざかっており、後部に進行方向と垂直に取り付けた平面鏡で電磁波を真後ろ（観測所の向き）に反射する。観測所が受け取った反射波の振動数を測ったところ $\frac{f_0}{4}$ であった。真空中の光の速さを $c$ とし、電磁波は真空中を伝わるものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って $x$ 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ $\frac{1}{2}c$ で発射したところ、$S$ 系で測った探査機の速度は $x$ 軸の正の向きに $\frac{1}{4}c$ であった。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

宇宙船が、地球上の観測者から見て、観測者と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で観測者から遠ざかっている。宇宙船は、宇宙船とともに動く慣性系で測って振動数 $f_0$ の電磁波を観測者に向けて出している。観測者がこの電磁波を受けて測った振動数は $\frac{1}{3}{f}_0$ であった。$v$ は真空中の光の速さ $c$ の何倍か。分数で答えよ。ただし、特殊相対論に従うものとし、地球に固定した系は慣性系とみなし、重力の影響は考えない。

地球と恒星 P は互いに静止しており、この 2 つが静止している慣性系で測った地球と P の距離は $4$ 光年である。宇宙船が地球のそばを通過した瞬間から一定の速さ $v$ で P に向かってまっすぐ進み、P のそばを通過した。宇宙船に積んだ時計で測ると、地球のそばを通過してから P のそばを通過するまでの時間は $3$ 年であった。$1$ 光年は光が真空中を $1$ 年かけて進む距離であり、真空中の光の速さを $c$ とする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。

地上局は慣性系に静止しており、宇宙船は地上局と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ $(0<v<c)$ で地上局に近づいている。ここで $c$ は真空中の光の速さである。地上局は、地上局の静止系で測って振動数 $f_0$ の電磁波を宇宙船に向けて送り続けている。宇宙船に積まれた中継器は、受信した電磁波の振動数を宇宙船の静止系で測ってちょうど $k$ 倍（$k$ は正の定数）にした電磁波を、ただちに地上局に向けて送り返す。地上局がこの送り返された電磁波を受信して測った振動数は $f_1$ であった（$f_1>k{f}_0$）。電磁波は真空中を進むものとし、重力の影響は無視する。宇宙船の速さ $v$ を $c,f_0,f_1,k$ を用いて表せ。