特殊相対論の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理特殊相対論

地上局は慣性系に静止しており、宇宙船は地上局と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ $(0 < v < c)$ で地上局に近づいている。ここで $c$ は真空中の光の速さである。地上局は、地上局の静止系で測って振動数 $f_{0}$ の電磁波を宇宙船に向けて送り続けている。宇宙船に積まれた中継器は、受信した電磁波の振動数を宇宙船の静止系で測ってちょうど $k$ 倍（ $k$ は正の定数）にした電磁波を、ただちに地上局に向けて送り返す。地上局がこの送り返された電磁波を受信して測った振動数は $f_{1}$ であった（ $f_{1} > k f_{0}$ ）。電磁波は真空中を進むものとし、重力の影響は無視する。宇宙船の速さ $v$ を $c, f_{0}, f_{1}, k$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

相対論的ドップラー効果（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

地上局→宇宙船、宇宙船→地上局の 2 回のドップラー効果に分けて考え、それぞれ受信する側の静止系で振動数を求めましょう。

ヒント 2

光源と観測者が相対速度 $v$ で近づくとき、観測される振動数は $f = f_{源} \frac{1 + β}{1 - β}$ （ $β = v / c$ ）です。中継器で $k$ 倍されることも忘れずに。

ヒント 3

2 回のドップラー効果と $k$ 倍をあわせると $f_{1} = k f_{0} \frac{1 + β}{1 - β}$ となります。これを $β$ について解きましょう。

答えと解説

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\frac{f _{1} - k f _{0}}{f _{1} + k f _{0}} c

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解説を読む

$β = \frac{v}{c}$ , $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}}$ とおく。

相対論的ドップラー効果（近づく場合）
観測者の静止系で、光源が速さ $v$ で観測者に向かってまっすぐ近づいているとする。光源の静止系での周期を $T_{0} = 1/ f_{0}^{'}$ とすると、時間の遅れにより観測者の系での放射の周期は $γ T_{0}$ である。この間に光源は観測者に $v γ T_{0}$ だけ近づくので、続けて出た波の山どうしの到着時間の差は
$T = γ T_{0} - \frac{v γ T _{0}}{c} = γ (1 - β) T_{0}$
となる。よって観測される振動数は
$f = \frac{f _{0}^{'}}{γ ( 1 - β )} = f_{0}^{'} \frac{1 + β}{1 - β}$
である。光の速さはどの慣性系でも $c$ なので（光速度不変の原理）、媒質を考える必要はなく、この式は「光源と観測者が相対速度 $v$ で近づく」ことだけで決まる。

(1) 宇宙船が受信する振動数
宇宙船の静止系では、地上局（光源）が速さ $v$ で近づいてくる。相対性原理より上の式がそのまま使えて、宇宙船の静止系での受信振動数は
$f^{'} = f_{0} \frac{1 + β}{1 - β}$

(2) 送り返される電磁波
中継器は宇宙船の静止系で振動数 $k f^{'}$ の電磁波を出す。地上局の静止系では、この光源（宇宙船）が速さ $v$ で近づいているので、地上局での受信振動数は
$f_{1} = k f^{'} \frac{1 + β}{1 - β} = k f_{0} \frac{1 + β}{1 - β}$

(3) $v$ を求める
$f_{1} (1 - β) = k f_{0} (1 + β)$ より
$β (f_{1} + k f_{0}) = f_{1} - k f_{0}, β = \frac{f _{1} - k f _{0}}{f _{1} + k f _{0}}$
$f_{1} > k f_{0}$ なので $0 < β < 1$ となり条件に合う。したがって
$v = \frac{f _{1} - k f _{0}}{f _{1} + k f _{0}} c$

別解

宇宙船が地上局に近づくので、相対論的ドップラー効果により、宇宙船が受信する振動数は $f^{'} = f_{0} \frac{1 + β}{1 - β}$ である。ここで $β = v / c$ とする。

中継器は宇宙船の静止系で振動数を $k$ 倍にして送り返すので、送信振動数は $k f^{'}$ である。

地上局は宇宙船から遠ざかる側にいるのではなく、宇宙船が地上局に近づいているので、地上局での受信振動数も青方偏移する。
$f_{1} = k f^{'} \frac{1 + β}{1 - β} = k f_{0} \frac{1 + β}{1 - β}$

よって $\frac{1 + β}{1 - β} = \frac{f _{1}}{k f _{0}} = R$ とおくと、 $β = \frac{R - 1}{R + 1}$ となる。

$v = c \frac{f _{1} - k f _{0}}{f _{1} + k f _{0}}$

検算: $f_{1} = 3 k f_{0}$ のとき $β = 1/2$ となり、 $(1.5/0.5) = 3$ で一致する。また $f_{1} > k f_{0}$ から $v > 0$ であり、 $0 < v < c$ も満たす。

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