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特殊相対論の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理特殊相対論

地上に固定した慣性系 $S$ の $x$ 軸上の原点に標識が静止している。宇宙船が $x$ 軸に沿って $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ （ $0 < v < c$ 、 $v$ は未知）で運動しながら、標識のすぐそばを通過する。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{'}$ とし、宇宙船の長さは $S^{'}$ 系で測って $L_{0}$ である。宇宙船の前端と後端にはそれぞれ時計が取り付けてあり、2 つの時計は $S^{'}$ 系で同期されている。

標識のそばに置いた $S$ 系の時計で測ると、宇宙船の前端が標識を通過してから後端が標識を通過するまでの時間は $T$ であった。

前端が標識を通過した瞬間の前端の時計の読みと、後端が標識を通過した瞬間の後端の時計の読みの差（後者から前者を引いたもの）を、 $L_{0}$ , $T$ , $c$ を用いて表せ。ここで $c$ は真空中の光の速さである。

この問題で使うもの

時間の遅れと固有時（説明と入口の問題）
長さの収縮（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $S$ 系で、宇宙船の長さが収縮していることを使って $T$ と $v$ の関係を作り、未知の速さ $v$ （または $γ$ ）を $L_{0}$ , $T$ , $c$ で表しましょう。

ヒント 2

2 つの事象はどちらも標識の位置で起こるので、 $T$ は固有時間です。 $S^{'}$ 系での時間差は $T^{'} = γ T$ （あるいは $S^{'}$ 系で考えて $T^{'} = L_{0} / v$ ）になります。

ヒント 3

$T = \frac{L _{0} 1 - β ^{2}}{c β}$ から $β^{2} = \frac{L _{0}^{2}}{L _{0}^{2} + c ^{2} T ^{2}}$ が得られます。これから $γ$ を求めて $T^{'} = γ T$ に代入しましょう。

答えと解説

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T^{2} + \frac{L _{0}^{2}}{c ^{2}}

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解説を読む

$β = \frac{v}{c}$ 、 $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}}$ とおく。

$S$ 系での考察（長さの収縮）
$S$ 系では宇宙船は速さ $v$ で運動しているので、その長さはローレンツ収縮して $L = \frac{L _{0}}{γ} = L_{0} 1 - β^{2}$ である。標識は静止しているので、前端が通過してから後端が通過するまでの時間は
$T = \frac{L}{v} = \frac{L _{0} 1 - β ^{2}}{c β}$
これを $β$ について解く。両辺を 2 乗して
$c^{2} T^{2} β^{2} = L_{0}^{2} (1 - β^{2}) ⟹ β^{2} = \frac{L _{0}^{2}}{L _{0}^{2} + c ^{2} T ^{2}}$
よって
$1 - β^{2} = \frac{c ^{2} T ^{2}}{L _{0}^{2} + c ^{2} T ^{2}}, γ = \frac{L _{0}^{2} + c ^{2} T ^{2}}{c T}$

$S^{'}$ 系での時間（時間の遅れ）
「前端が標識を通過する」事象と「後端が標識を通過する」事象は、どちらも標識の位置（ $S$ 系で $x = 0$ ）で起こる。したがって $T$ はこの 2 事象の間の固有時間である。ローレンツ変換 $t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}})$ で $x = 0$ とすると、 $S^{'}$ 系での時間差は
$T^{'} = γ T$
前端と後端の時計は $S^{'}$ 系で同期されているので、求める読みの差はこの $T^{'}$ に等しい。
$T^{'} = γ T = \frac{L _{0}^{2} + c ^{2} T ^{2}}{c} = T^{2} + \frac{L _{0}^{2}}{c ^{2}}$

（確認） $S^{'}$ 系では標識が速さ $v$ で長さ $L_{0}$ の宇宙船の前端から後端まで動くので、 $T^{'} = \frac{L _{0}}{v}$ である。 $v = c β = \frac{c L _{0}}{L _{0}^{2} + c ^{2} T ^{2}}$ を代入すると $T^{'} = \frac{L _{0}^{2} + c ^{2} T ^{2}}{c}$ となり、上の結果と一致する。

答え： $T^{2} + \frac{L _{0}^{2}}{c ^{2}}$

別解

S系で、前端が標識を通過する事象を事象1（ $x = 0, t = 0$ ）、後端が通過する事象を事象2（ $x = 0, t = T$ ）とする。

S'系の時計は同期されているので、前端の時計の読み（事象1）と後端の時計の読み（事象2）の差は、S'系での2つの事象の時間差 $Δ t^{'}$ に等しい。

ローレンツ変換 $t^{'} = γ (t - v x / c^{2})$ に、両事象とも $x = 0$ であることを使うと
$Δ t^{'} = γ T$ 　( $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ )

次に $γ$ を $L_{0}, T, c$ で表す。S系で見た宇宙船の長さは $L_{0} / γ$ であり、これを速さ $v$ で通過する時間が $T$ なので
$T = \frac{L _{0}}{γ v}$ 、すなわち $γ v T = L_{0}$ 。

恒等式 $γ^{2} = 1 + γ^{2} v^{2} / c^{2}$ に代入すると
$γ^{2} = 1 + \frac{L _{0}^{2}}{c ^{2} T ^{2}}$ 。

よって
$Δ t^{'} = γ T = T^{2} + L_{0}^{2} / c^{2}$ 。

検算： $v \to 0$ のとき $T \to \infty$ で $Δ t^{'} \approx T$ となり、時間の遅れがなくなる極限と一致する。また $γ T = L_{0} / (γ v) \cdot γ = L_{0} / v$ より $Δ t^{'} = L_{0} / v$ と書ける。これは S'系で標識が長さ $L_{0}$ を速さ $v$ で通過する時間と一致する。

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