特殊相対論の問題

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で運動している。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行で、$S^{\prime }$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に動いているものとする。宇宙船から探査機が、$S^{\prime }$ 系で測って $y^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で発射された。ここで $c$ は真空中の光の速さである。発射後、探査機は等速度運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

地上に固定した慣性系 $S$ の $x$ 軸上の原点に標識が静止している。宇宙船が $x$ 軸に沿って $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$（$0<v<c$、$v$ は未知）で運動しながら、標識のすぐそばを通過する。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、宇宙船の長さは $S^{\prime }$ 系で測って $L_0$ である。宇宙船の前端と後端にはそれぞれ時計が取り付けてあり、2 つの時計は $S^{\prime }$ 系で同期されている。

標識のそばに置いた $S$ 系の時計で測ると、宇宙船の前端が標識を通過してから後端が標識を通過するまでの時間は $T$ であった。

前端が標識を通過した瞬間の前端の時計の読みと、後端が標識を通過した瞬間の後端の時計の読みの差（後者から前者を引いたもの）を、$L_0$, $T$, $c$ を用いて表せ。ここで $c$ は真空中の光の速さである。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{3}{5}c$ で運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、$S$ と $S^{\prime }$ の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なり、$y$ 軸と $y^{\prime }$ 軸はつねに平行であるとする。$S^{\prime }$ 系に静止している宇宙船から、探査機が $S^{\prime }$ 系で見て $y^{\prime }$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で発射された。発射後、探査機は等速直線運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を含む正確な値で答えよ。

慣性系 $S^{\prime }$ に静止した長さ $L_0$ のまっすぐな棒が $x^{\prime }{y}^{\prime }$ 平面内にあり、$x^{\prime }$ 軸と角 $\frac{\pi }{3}$ をなしている。$S^{\prime }$ 系は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{\sqrt{3}}{2}c$ で動いており、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行である。ここで $c$ は真空中の光の速さである。$S$ 系で（$S$ 系の同時刻に両端の位置を測って）求めた棒の長さは $L_0$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

慣性系 $S^{\prime }$ は慣性系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{1}{2}c$ で動いており、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行である。$S^{\prime }$ 系で見ると、ある粒子が $x^{\prime }{y}^{\prime }$ 平面内を速さ $\frac{1}{2}c$ で等速直線運動しており、その速度の向きは $x^{\prime }$ 軸の正の向きから $y^{\prime }$ 軸の正の向きへ角 $\frac{\pi }{3}$ だけ回した向きである。ここで $c$ は真空中の光の速さである。$S$ 系で見たこの粒子の速度の向きが $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）とするとき、$\tan \theta$ を分数で求めよ。