同時刻の相対性

ある慣性系で同時刻に起こった離れた 2 つの事象が、別の慣性系では同時刻にならないことを、ローレンツ変換 $Δ t^{'} = γ (Δ t - \frac{v Δ x}{c ^{2}})$ で計算し、時刻の差の大きさと、どちらが先に起こるかを求められる

前提

ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

説明

慣性系 S で「同時に」起きた、離れた場所の 2 つの事象は、S に対して動いている慣性系 S' では一般に同時ではありません。ローレンツ変換の時刻の式を 2 つの事象の差に使った $Δ t^{'} = γ (Δ t - \frac{v Δ x}{c ^{2}})$ から、S' での時刻の差の大きさと、どちらが先に起こるかを求められるようになります。走る列車の前後で起きた出来事の順序や、離れた 2 つの時計の合わせ方を考える場面で使います。

なぜそうしてよいのか

S' が S に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $v$ で動いているとき、ローレンツ変換は $t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}})$ 、 $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ です。事象 1 を $(t_{1}, x_{1})$ 、事象 2 を $(t_{2}, x_{2})$ とし、差 $Δ t = t_{2} - t_{1}$ 、 $Δ x = x_{2} - x_{1}$ をとると、式が 1 次なので定数部分が打ち消し合い
$Δ t^{'} = t_{2}^{'} - t_{1}^{'} = γ (Δ t - \frac{v Δ x}{c ^{2}})$
となります。S で同時（ $Δ t = 0$ ）でも、場所が違えば（ $Δ x \neq = 0$ ） $Δ t^{'} = - γ \frac{v Δ x}{c ^{2}} \neq = 0$ です。 $v > 0$ なら、 $x$ が大きい側（S' が進んでいく前方）の事象のほうが S' では先に起こります。

これは光速不変から直観的にもわかります。S' に乗った長い列車の真ん中から前後に光を出すと、列車の中の人には光は同じ速さ $c$ で同じ距離を進むので、前端と後端に同時に届きます。ところが地上の S から見ると、光の速さはやはり $c$ のままで、後端は光に向かって近づき前端は光から遠ざかるので、後端に先に届きます。つまり「同時」かどうかは慣性系によって変わり、どの系にも共通の同時刻はありません。なお時刻の差の大きさ $γ \frac{∣ v ∣∣Δ x ∣}{c ^{2}}$ は、 $v$ が $c$ よりずっと小さいときはほぼ 0 で、日常では同時刻のずれに気づかないこともわかります。

手順

S' が S に対して動く向きを $x$ 軸の正の向きとし、速さ $v$ と $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ を求める
2 つの事象に番号を付け、S での差 $Δ t = t_{2} - t_{1}$ 、 $Δ x = x_{2} - x_{1}$ を符号つきで求める
$Δ t^{'} = γ (Δ t - \frac{v Δ x}{c ^{2}})$ を計算する
$Δ t^{'}$ の符号で順序を判定する: $Δ t^{'} > 0$ なら S' では事象 1 が先、 $Δ t^{'} < 0$ なら事象 2 が先。時刻の差の大きさは $∣Δ t^{'} ∣$

例題

慣性系 S の $x$ 軸上の点 $x = 0$ で事象 A が、点 $x = L (L > 0)$ で事象 B が、S の時刻 $t = 0$ に同時に起こった。S に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $\frac{4}{5} c$ で動く慣性系 S' では、A と B のうち B のほうが先に起こる。S' において、B が起こってから A が起こるまでの時間を、 $L$ と光速 $c$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $v = \frac{4}{5} c$ なので $γ = \frac{1}{1 - 16/25} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}$ 。

【手順 2】事象 1 を A、事象 2 を B とすると $Δ t = t_{B} - t_{A} = 0$ 、 $Δ x = x_{B} - x_{A} = L$ 。

【手順 3】
$Δ t^{'} = t_{B}^{'} - t_{A}^{'} = \frac{5}{3} (0 - \frac{\frac{4}{5} c \cdot L}{c ^{2}}) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{4 L}{5 c} = - \frac{4 L}{3 c}$

【手順 4】 $Δ t^{'} < 0$ なので $t_{B}^{'} < t_{A}^{'}$ で、確かに S' では B が先に起こる。B が起こってから A が起こるまでの時間は $∣Δ t^{'} ∣ = \frac{4 L}{3 c}$ 。

答え: $\frac{4 L}{3 c}$

よくある誤り

S で同時なら $Δ t = 0$ だから S' でも $Δ t^{'} = γ Δ t = 0$ としてしまう誤り。正しくは $Δ t^{'} = γ (Δ t - \frac{v Δ x}{c ^{2}})$ で、離れた場所（ $Δ x \neq = 0$ ）なら $Δ t^{'} = - γ \frac{v Δ x}{c ^{2}} \neq = 0$
どちらが先かを逆にしてしまう誤り。 $v > 0$ 、 $Δ x = x_{2} - x_{1} > 0$ なら $Δ t^{'} = t_{2}^{'} - t_{1}^{'} < 0$ なので、S' の進む前方（ $x$ が大きい側）の事象 2 のほうが先に起こる。 $Δ t$ と $Δ x$ は同じ順（どちらも 2 から 1 を引く）で取る
$γ$ を付け忘れて $∣Δ t^{'} ∣ = \frac{v Δ x}{c ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは $∣Δ t^{'} ∣ = γ \frac{v ∣Δ x ∣}{c ^{2}}$ （上の例で $\frac{4 L}{5 c}$ ではなく $\frac{4 L}{3 c}$ ）
$Δ x$ に S' での距離 $Δ x^{'}$ を入れてしまう誤り。この式の $Δ t$ 、 $Δ x$ はどちらも S（変換前の系）で測った値

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地上に固定した慣性系 $S$ の $x$ 軸上で、位置 $x_{A} = 0 m$ の事象 A と、位置 $x_{B} = 600 m$ の事象 B が、 $S$ で同時刻に起こった。 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v = \frac{4}{5} c$ で動く宇宙船に固定した慣性系 $S^{'}$ （ $x^{'}$ 軸は $x$ 軸と重なり、同じ向き）で見たときの、事象 A, B の時刻をそれぞれ $t_{A}^{'}$ , $t_{B}^{'}$ とする。光速を $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ とする。
時刻の差 $t_{B}^{'} - t_{A}^{'}$ を、 $μ s$ （ $1 μ s = 1 0^{- 6} s$ ）単位の正確な値（分数）で求めよ。

同時刻の相対性

前提

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なぜそうしてよいのか

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よくある誤り

入口の問題

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