特殊相対論の問題

地球に固定した慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{1}{2}c$ で進んでいる。宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）で見て、宇宙船から探査機が $x^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $u^{\prime }=\frac{3}{5}c$ で発射され、その後一定の速度で進む。$c$ は真空中の光速である。

地球の系 $S$ から見た探査機の速さ $u$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動いている（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なって同じ向き、$y^{\prime }$ 軸は $y$ 軸と平行で同じ向き）。$S^{\prime }$ で見て、ある粒子が速度の成分 $u_x^{\prime }=\frac{1}{2}c$, $u_y^{\prime }=\frac{1}{2}c$ で等速直線運動をしている。$c$ は真空中の光速である。

$S$ で見たこの粒子の速度の $y$ 成分 $u_y$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

宇宙船の静止系で測った宇宙船の全長（固有長）は $L_0=150\mathrm{m}$ である。この宇宙船が、宇宙空間に静止している観測者 P（P に固定した系は慣性系とする）に対して、船の長さの向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で一直線に進み、P のすぐそばを通過する。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

P の系で測って、宇宙船の先端が P の位置を通過してから後端が P の位置を通過するまでの時間を、$\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）単位の正確な値（分数）で求めよ。

慣性系 $S$ と、$S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動く慣性系 $S^{\prime }$ がある。両者の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なっていて、$t=t^{\prime }=0$ のとき両者の原点は一致していたとする。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

$S$ で時刻 $t=5.0\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）、位置 $x=1200\mathrm{m}$ で起きた事象について、ローレンツ変換
$$x^{\prime }=\gamma (x-vt),t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
を用いて、$S^{\prime }$ での時刻 $t^{\prime }$ と位置 $x^{\prime }$ を求めよ。ただし $t^{\prime }$ は $\mu \mathrm{s}$ 単位、$x^{\prime }$ は $\mathrm{m}$ 単位の正確な値で、組 $(t^{\prime },x^{\prime })$ の形で答えよ。

ある不安定粒子は、静止しているとき（粒子とともに動く時計で測ったとき）、生成されてから $\tau =2.0\times 10^{-8}\mathrm{s}$ 後に崩壊する。この粒子が、実験室に固定した慣性系に対して一定の速さ $v=\frac{12}{13}c$ で一直線上を運動している。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

粒子が生成されてから崩壊するまでに、実験室系で進む距離を $\mathrm{m}$ 単位の正確な値で求めよ。