特殊相対論の問題

慣性系 $S$ で、ある粒子が $x$ 軸の正の向きに運動しており、そのエネルギーは $E=1000\mathrm{MeV}$、運動量の $x$ 成分は $p_x=800\mathrm{MeV}/c$（$y$, $z$ 成分は $0$）である。$S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動く慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なり同じ向き）から、この粒子を見る。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

4 元運動量 $(E/c,\mathbf{p})$ のローレンツ変換
$$E^{\prime }=\gamma (E-v{p}_x),p_x^{\prime }=\gamma \left(p_x-\frac{vE}{c^2}\right),\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
を用いて、$S^{\prime }$ での粒子のエネルギー $E^{\prime }$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

遠方の天体が、地球から見て視線方向（地球と天体を結ぶ直線の向き）に一定の速さ $v$ で遠ざかっている。この天体の静止系で波長 ${\lambda }_0=4.0\times 10^2\mathrm{nm}$ の光として放たれたスペクトル線が、地球では波長 $\lambda =6.0\times 10^2\mathrm{nm}$ として観測された。光源が遠ざかるときの相対論的ドップラー効果の式
$$\frac{f}{f_0}=\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}\left(\beta =\frac{v}{c}\right)$$
を用いて、$\beta =\frac{v}{c}$ を正確な値（分数）で求めよ。ここで $f_0$ は光源の静止系での振動数、$f$ は地球で観測される振動数、$c$ は真空中の光速である。与えられた数値は正確な値として扱い、地球は慣性系とみなす。

地上に固定した慣性系 $S$ の $x$ 軸上で、位置 $x_A=0\mathrm{m}$ の事象 A と、位置 $x_B=600\mathrm{m}$ の事象 B が、$S$ で同時刻に起こった。$S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{4}{5}c$ で動く宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なり、同じ向き）で見たときの、事象 A, B の時刻をそれぞれ $t_A^{\prime }$, $t_B^{\prime }$ とする。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

時刻の差 $t_B^{\prime }-t_A^{\prime }$ を、$\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）単位の正確な値（分数）で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動いている（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なって同じ向き、$y^{\prime }$ 軸は $y$ 軸と平行で同じ向き）。$S^{\prime }$ で見て、ある粒子が速度の成分 $u_x^{\prime }=\frac{1}{2}c$, $u_y^{\prime }=\frac{1}{2}c$ で等速直線運動をしている。$c$ は真空中の光速である。

$S$ で見たこの粒子の速度の $y$ 成分 $u_y$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

宇宙船の静止系で測った宇宙船の全長（固有長）は $L_0=150\mathrm{m}$ である。この宇宙船が、宇宙空間に静止している観測者 P（P に固定した系は慣性系とする）に対して、船の長さの向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で一直線に進み、P のすぐそばを通過する。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

P の系で測って、宇宙船の先端が P の位置を通過してから後端が P の位置を通過するまでの時間を、$\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）単位の正確な値（分数）で求めよ。