特殊相対論の問題

慣性系 $S$ と、$S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動く慣性系 $S^{\prime }$ がある。両者の $x$ 軸と $x^{\prime }$ 軸は重なっていて、$t=t^{\prime }=0$ のとき両者の原点は一致していたとする。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

$S$ で時刻 $t=5.0\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）、位置 $x=1200\mathrm{m}$ で起きた事象について、ローレンツ変換
$$x^{\prime }=\gamma (x-vt),t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
を用いて、$S^{\prime }$ での時刻 $t^{\prime }$ と位置 $x^{\prime }$ を求めよ。ただし $t^{\prime }$ は $\mu \mathrm{s}$ 単位、$x^{\prime }$ は $\mathrm{m}$ 単位の正確な値で、組 $(t^{\prime },x^{\prime })$ の形で答えよ。

遠方の天体が、地球から見て視線方向（地球と天体を結ぶ直線の向き）に一定の速さ $v$ で遠ざかっている。この天体の静止系で波長 ${\lambda }_0=4.0\times 10^2\mathrm{nm}$ の光として放たれたスペクトル線が、地球では波長 $\lambda =6.0\times 10^2\mathrm{nm}$ として観測された。光源が遠ざかるときの相対論的ドップラー効果の式
$$\frac{f}{f_0}=\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}\left(\beta =\frac{v}{c}\right)$$
を用いて、$\beta =\frac{v}{c}$ を正確な値（分数）で求めよ。ここで $f_0$ は光源の静止系での振動数、$f$ は地球で観測される振動数、$c$ は真空中の光速である。与えられた数値は正確な値として扱い、地球は慣性系とみなす。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動いている（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なって同じ向き、$y^{\prime }$ 軸は $y$ 軸と平行で同じ向き）。$S^{\prime }$ で見て、ある粒子が速度の成分 $u_x^{\prime }=\frac{1}{2}c$, $u_y^{\prime }=\frac{1}{2}c$ で等速直線運動をしている。$c$ は真空中の光速である。

$S$ で見たこの粒子の速度の $y$ 成分 $u_y$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

静止エネルギーが $m{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子が、加速器で加速されて運動エネルギー $K=200\mathrm{MeV}$ をもって直線運動している。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

関係式 $E=K+m{c}^2$ と $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ を用いて、この粒子の運動量の大きさ $p$ に $c$ を掛けた量 $pc$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で、2 個の光子が $x$ 軸上を互いに逆向きに進んでいる。光子 A はエネルギー $E_A=8.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の正の向きに、光子 B はエネルギー $E_B=2.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の負の向きに進む。光子では $E=pc$ が成り立つ。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

この 2 光子からなる系の不変質量 $M$ について、$M{c}^2$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。ただし $M^2{c}^4=E_{\text{tot}}^2-|{\mathbf{p}}_{\text{tot}}{|}^2{c}^2$ である。