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特殊相対論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理特殊相対論

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{'}$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v = \frac{3}{5} c$ で動いている（ $x^{'}$ 軸は $x$ 軸と重なって同じ向き、 $y^{'}$ 軸は $y$ 軸と平行で同じ向き）。 $S^{'}$ で見て、ある粒子が速度の成分 $u_{x}^{'} = \frac{1}{2} c$ , $u_{y}^{'} = \frac{1}{2} c$ で等速直線運動をしている。 $c$ は真空中の光速である。

$S$ で見たこの粒子の速度の $y$ 成分 $u_{y}$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

この問題で使うもの

運動方向に垂直な速度成分の変換（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「運動方向に垂直な速度成分の変換」の技能を使います。 $y$ 成分は $u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + u _{x}^{'} v / c ^{2} )}$ で変換されます。

ヒント 2

$v = \frac{3}{5} c$ のとき $γ = \frac{5}{4}$ です。分母の括弧は $1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}$ です。

ヒント 3

分母は $γ (1 + \frac{u _{x}^{'} v}{c ^{2}}) = \frac{5}{4} \times \frac{13}{10} = \frac{13}{8}$ です。 $u_{y}^{'} = \frac{1}{2} c$ をこれで割りましょう。

答えと解説

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\frac{4}{13}

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解説を読む

手順 1: 使う式を確認する。
系の相対運動（ $x$ 方向）に垂直な速度成分は、ローレンツ変換から
$u_{y} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + \frac{u _{x}^{'} v}{c ^{2}} )}$
と変換される。 $y$ 方向の長さは変わらない（ $y = y^{'}$ ）が、時間の進み方が系によって違うため、 $u_{y}$ は $u_{y}^{'}$ と等しくならない。

手順 2: $γ$ を求める。
$v = \frac{3}{5} c$ なので
$γ = \frac{1}{1 - \frac{9}{25}} = \frac{1}{\frac{16}{25}} = \frac{5}{4}$

手順 3: 分母の括弧を計算する。
$1 + \frac{u _{x}^{'} v}{c ^{2}} = 1 + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = 1 + \frac{3}{10} = \frac{13}{10}$

手順 4: 代入する。
$u_{y} = \frac{\frac{1}{2} c}{\frac{5}{4} \times \frac{13}{10}} = \frac{\frac{1}{2} c}{\frac{13}{8}} = \frac{1}{2} \times \frac{8}{13} c = \frac{4}{13} c$

確かめ: 平行成分は合成則より $u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + v}{1 + u _{x}^{'} v / c ^{2}} = \frac{\frac{11}{10} c}{\frac{13}{10}} = \frac{11}{13} c$ 。速さは $u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = \frac{121 + 16}{13} c = \frac{137}{13} c < c$ となり、光速を超えていない。

よって $u_{y}$ は $c$ の $\frac{4}{13}$ 倍。

別解

$S^{'}$ から $S$ への変換は、 $S$ に対する $S^{'}$ の速度が $+ v$ なので $d t = γ (d t^{'} + \frac{v d x ^{'}}{c ^{2}})$ 、 $d y = d y^{'}$ 。したがって $u_{y} = \frac{d y}{d t} = \frac{u _{y}^{'}}{γ ( 1 + \frac{v u _{x}^{'}}{c ^{2}} )}$ 。 $γ = \frac{1}{1 - 9/25} = \frac{5}{4}$ 、 $\frac{v u _{x}^{'}}{c ^{2}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$ なので $u_{y} = \frac{\frac{1}{2} c}{\frac{5}{4} \cdot \frac{13}{10}} = \frac{\frac{1}{2} c}{\frac{13}{8}} = \frac{4}{13} c$ 。検算: $u_{x} = \frac{u _{x}^{'} + v}{1 + v u _{x}^{'} / c ^{2}} = \frac{1.1}{1.3} c = \frac{11}{13} c$ 。 $u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = \frac{121 + 16}{169} c^{2} = \frac{137}{169} c^{2} < c^{2}$ で光速を超えない。

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