特殊相対論の問題

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動いている（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なって同じ向き、$y^{\prime }$ 軸は $y$ 軸と平行で同じ向き）。$S^{\prime }$ で見て、ある粒子が速度の成分 $u_x^{\prime }=\frac{1}{2}c$, $u_y^{\prime }=\frac{1}{2}c$ で等速直線運動をしている。$c$ は真空中の光速である。

$S$ で見たこの粒子の速度の $y$ 成分 $u_y$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

地上に固定した慣性系 $S$ の $x$ 軸上で、位置 $x_A=0\mathrm{m}$ の事象 A と、位置 $x_B=600\mathrm{m}$ の事象 B が、$S$ で同時刻に起こった。$S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{4}{5}c$ で動く宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なり、同じ向き）で見たときの、事象 A, B の時刻をそれぞれ $t_A^{\prime }$, $t_B^{\prime }$ とする。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

時刻の差 $t_B^{\prime }-t_A^{\prime }$ を、$\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）単位の正確な値（分数）で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で運動している。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行で、$S^{\prime }$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に動いているものとする。宇宙船から探査機が、$S^{\prime }$ 系で測って $y^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で発射された。ここで $c$ は真空中の光の速さである。発射後、探査機は等速度運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

地球に固定した慣性系 $S_0$ で静止していた探査機が、次のように 3 段階で加速する。1 段目の加速で、探査機は $S_0$ に対して一直線上を速さ $\frac{1}{2}c$ で進むようになる。その後の各段階では、直前の段階を終えた（加速前の）探査機の静止系から見て、同じ向きに速さ $\frac{1}{2}c$ だけ速くなる（つまり、直前の静止系に対して速さ $\frac{1}{2}c$ で進むようになる）。各段階の加速は一瞬で終わり、各段階の間は等速直線運動をするものとする。$c$ は真空中の光速である。

ラピディティ $\varphi$ を $\tanh \varphi =\frac{v}{c}$（ただし $\tanh \varphi =\frac{e^{\varphi }-e^{-\varphi }}{e^{\varphi }+e^{-\varphi }}$）で定めると、同じ向きの速度の合成ではラピディティが足し算になる。このことを用いて、3 段階の加速を終えたあとの探査機の $S_0$ に対する速さは $c$ の何倍か、正確な値（分数）で求めよ。

地球に固定した慣性系 $S$ で、$x$ 軸に沿って運動する 2 機の宇宙船 A, B を考える。$S$ 系で見ると、宇宙船 A は $x$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で、宇宙船 B は $x$ 軸の負の向きに速さ $\frac{1}{2}c$ で、それぞれ等速直線運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さである。宇宙船 A とともに動く慣性系から見た宇宙船 B の速さは $c$ の何倍か。分数で答えよ。ただし、特殊相対論に従うものとし、重力の影響は考えない。