特殊相対論の問題

宇宙船が、地球上の観測者から見て、観測者と宇宙船を結ぶ直線に沿って一定の速さ $v$ で観測者から遠ざかっている。宇宙船は、宇宙船とともに動く慣性系で測って振動数 $f_0$ の電磁波を観測者に向けて出している。観測者がこの電磁波を受けて測った振動数は $\frac{1}{3}{f}_0$ であった。$v$ は真空中の光の速さ $c$ の何倍か。分数で答えよ。ただし、特殊相対論に従うものとし、地球に固定した系は慣性系とみなし、重力の影響は考えない。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で運動している。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行で、$S^{\prime }$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に動いているものとする。宇宙船から探査機が、$S^{\prime }$ 系で測って $y^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で発射された。ここで $c$ は真空中の光の速さである。発射後、探査機は等速度運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

地球に固定した慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{1}{2}c$ で進んでいる。宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）で見て、宇宙船から探査機が $x^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $u^{\prime }=\frac{3}{5}c$ で発射され、その後一定の速度で進む。$c$ は真空中の光速である。

地球の系 $S$ から見た探査機の速さ $u$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

実験室系（慣性系）$S$ で静止していた原子核が崩壊し、2 個の同じ種類の粒子 A, B が生じた。$S$ 系で見ると、A は $x$ 軸の負の向きに、B は $x$ 軸の正の向きに、同じ一定の速さ $u$ で直線運動をした（$0<u<c$）。ここで $c$ は真空中の光の速さである。A とともに動く慣性系で測ると、B の速さは $\frac{12}{13}c$ であった。比 $\frac{u}{c}$ を既約分数で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v$ で運動している（$0<v<c$）。宇宙船から小型の探査機を、宇宙船とともに動く慣性系で測って $x$ 軸の負の向き（宇宙船の後ろ向き）に速さ $\frac{1}{2}c$ で発射したところ、$S$ 系で測った探査機の速度は $x$ 軸の正の向きに $\frac{1}{4}c$ であった。ここで $c$ は真空中の光の速さであり、発射後の探査機は等速度運動をするものとする。$\frac{v}{c}$ を分数で求めよ。