特殊相対論の問題

地球に固定した慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{1}{2}c$ で進んでいる。宇宙船に固定した慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）で見て、宇宙船から探査機が $x^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $u^{\prime }=\frac{3}{5}c$ で発射され、その後一定の速度で進む。$c$ は真空中の光速である。

地球の系 $S$ から見た探査機の速さ $u$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

慣性系 $S$ に対して、慣性系 $S^{\prime }$ が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動いている（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なって同じ向き、$y^{\prime }$ 軸は $y$ 軸と平行で同じ向き）。$S^{\prime }$ で見て、ある粒子が速度の成分 $u_x^{\prime }=\frac{1}{2}c$, $u_y^{\prime }=\frac{1}{2}c$ で等速直線運動をしている。$c$ は真空中の光速である。

$S$ で見たこの粒子の速度の $y$ 成分 $u_y$ は $c$ の何倍か。正確な値（分数）で求めよ。

地球に固定した慣性系 $S$ で、$x$ 軸に沿って運動する 2 機の宇宙船 A, B を考える。$S$ 系で見ると、宇宙船 A は $x$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で、宇宙船 B は $x$ 軸の負の向きに速さ $\frac{1}{2}c$ で、それぞれ等速直線運動している。ここで $c$ は真空中の光の速さである。宇宙船 A とともに動く慣性系から見た宇宙船 B の速さは $c$ の何倍か。分数で答えよ。ただし、特殊相対論に従うものとし、重力の影響は考えない。

慣性系 $S$ に対して、宇宙船が $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $\frac{4}{5}c$ で運動している。宇宙船とともに動く慣性系を $S^{\prime }$ とし、$S^{\prime }$ の $x^{\prime }$ 軸・$y^{\prime }$ 軸はそれぞれ $S$ の $x$ 軸・$y$ 軸と平行で、$S^{\prime }$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に動いているものとする。宇宙船から探査機が、$S^{\prime }$ 系で測って $y^{\prime }$ 軸の正の向きに速さ $\frac{3}{5}c$ で発射された。ここで $c$ は真空中の光の速さである。発射後、探査機は等速度運動をするものとする。$S$ 系で測った探査機の速さは $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

ある不安定粒子は、静止しているとき（粒子とともに動く時計で測ったとき）、生成されてから $\tau =2.0\times 10^{-8}\mathrm{s}$ 後に崩壊する。この粒子が、実験室に固定した慣性系に対して一定の速さ $v=\frac{12}{13}c$ で一直線上を運動している。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

粒子が生成されてから崩壊するまでに、実験室系で進む距離を $\mathrm{m}$ 単位の正確な値で求めよ。