特殊相対論の問題

宇宙船の静止系で測った宇宙船の全長（固有長）は $L_0=150\mathrm{m}$ である。この宇宙船が、宇宙空間に静止している観測者 P（P に固定した系は慣性系とする）に対して、船の長さの向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で一直線に進み、P のすぐそばを通過する。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

P の系で測って、宇宙船の先端が P の位置を通過してから後端が P の位置を通過するまでの時間を、$\mu \mathrm{s}$（$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$）単位の正確な値（分数）で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で静止している、静止エネルギー $M{c}^2=500\mathrm{MeV}$ の粒子 X が、静止エネルギー $m_1{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子 1 と、静止エネルギー $m_2{c}^2=100\mathrm{MeV}$ の粒子 2 の 2 つだけに崩壊した。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存される。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

崩壊後の粒子 1 の全エネルギー $E_1$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

不安定な粒子が、生成されてから自身の静止系で測って時間 ${\tau }_0$ だけたったときに崩壊する。この粒子が実験室系（慣性系）で生成され、直後から一定の速さ $\frac{12}{13}c$ で直線運動をした。ここで $c$ は真空中の光の速さである。実験室系で測って、粒子が生成されてから崩壊するまでに進む距離は $c{\tau }_0$ の何倍か。分数で答えよ。

静止エネルギーが $m{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子が、加速器で加速されて運動エネルギー $K=200\mathrm{MeV}$ をもって直線運動している。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

関係式 $E=K+m{c}^2$ と $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ を用いて、この粒子の運動量の大きさ $p$ に $c$ を掛けた量 $pc$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で、2 個の光子が $x$ 軸上を互いに逆向きに進んでいる。光子 A はエネルギー $E_A=8.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の正の向きに、光子 B はエネルギー $E_B=2.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の負の向きに進む。光子では $E=pc$ が成り立つ。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

この 2 光子からなる系の不変質量 $M$ について、$M{c}^2$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。ただし $M^2{c}^4=E_{\text{tot}}^2-|{\mathbf{p}}_{\text{tot}}{|}^2{c}^2$ である。