特殊相対論の問題

実験室系（慣性系とする）で静止している、静止エネルギー $M{c}^2=500\mathrm{MeV}$ の粒子 X が、静止エネルギー $m_1{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子 1 と、静止エネルギー $m_2{c}^2=100\mathrm{MeV}$ の粒子 2 の 2 つだけに崩壊した。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存される。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

崩壊後の粒子 1 の全エネルギー $E_1$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で、静止エネルギー $m{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子 A が、全エネルギー $E_A=500\mathrm{MeV}$（運動量の大きさ $p_{A}c=400\mathrm{MeV}$）で $x$ 軸の正の向きに進み、静止している静止エネルギー $M{c}^2=700\mathrm{MeV}$ の粒子 B に衝突して弾性散乱する（衝突の前後で粒子の種類と静止エネルギーは変わらず、全エネルギーと全運動量が保存される）。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

散乱の向きによって、粒子 B が受け取る運動エネルギーは変わる。粒子 B が受け取る運動エネルギーの最大値を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で、2 個の光子が $x$ 軸上を互いに逆向きに進んでいる。光子 A はエネルギー $E_A=8.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の正の向きに、光子 B はエネルギー $E_B=2.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の負の向きに進む。光子では $E=pc$ が成り立つ。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

この 2 光子からなる系の不変質量 $M$ について、$M{c}^2$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。ただし $M^2{c}^4=E_{\text{tot}}^2-|{\mathbf{p}}_{\text{tot}}{|}^2{c}^2$ である。

慣性系 $S$ で、ある粒子が $x$ 軸の正の向きに運動しており、そのエネルギーは $E=1000\mathrm{MeV}$、運動量の $x$ 成分は $p_x=800\mathrm{MeV}/c$（$y$, $z$ 成分は $0$）である。$S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動く慣性系 $S^{\prime }$（$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と重なり同じ向き）から、この粒子を見る。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

4 元運動量 $(E/c,\mathbf{p})$ のローレンツ変換
$$E^{\prime }=\gamma (E-v{p}_x),p_x^{\prime }=\gamma \left(p_x-\frac{vE}{c^2}\right),\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
を用いて、$S^{\prime }$ での粒子のエネルギー $E^{\prime }$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

ある不安定粒子は、静止しているとき（粒子とともに動く時計で測ったとき）、生成されてから $\tau =2.0\times 10^{-8}\mathrm{s}$ 後に崩壊する。この粒子が、実験室に固定した慣性系に対して一定の速さ $v=\frac{12}{13}c$ で一直線上を運動している。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

粒子が生成されてから崩壊するまでに、実験室系で進む距離を $\mathrm{m}$ 単位の正確な値で求めよ。