特殊相対論の問題

実験室系（慣性系とする）で、静止エネルギー $m{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子 A が、全エネルギー $E_A=500\mathrm{MeV}$（運動量の大きさ $p_{A}c=400\mathrm{MeV}$）で $x$ 軸の正の向きに進み、静止している静止エネルギー $M{c}^2=700\mathrm{MeV}$ の粒子 B に衝突して弾性散乱する（衝突の前後で粒子の種類と静止エネルギーは変わらず、全エネルギーと全運動量が保存される）。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

散乱の向きによって、粒子 B が受け取る運動エネルギーは変わる。粒子 B が受け取る運動エネルギーの最大値を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

静止エネルギーが $m{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子が、加速器で加速されて運動エネルギー $K=200\mathrm{MeV}$ をもって直線運動している。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

関係式 $E=K+m{c}^2$ と $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ を用いて、この粒子の運動量の大きさ $p$ に $c$ を掛けた量 $pc$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で、2 個の光子が $x$ 軸上を互いに逆向きに進んでいる。光子 A はエネルギー $E_A=8.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の正の向きに、光子 B はエネルギー $E_B=2.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の負の向きに進む。光子では $E=pc$ が成り立つ。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

この 2 光子からなる系の不変質量 $M$ について、$M{c}^2$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。ただし $M^2{c}^4=E_{\text{tot}}^2-|{\mathbf{p}}_{\text{tot}}{|}^2{c}^2$ である。

ある不安定粒子は、静止しているとき（粒子とともに動く時計で測ったとき）、生成されてから $\tau =2.0\times 10^{-8}\mathrm{s}$ 後に崩壊する。この粒子が、実験室に固定した慣性系に対して一定の速さ $v=\frac{12}{13}c$ で一直線上を運動している。光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とし、与えられた数値は正確な値として扱う。

粒子が生成されてから崩壊するまでに、実験室系で進む距離を $\mathrm{m}$ 単位の正確な値で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で静止している電子に、エネルギー $E_{\gamma }$ の光子 1 個を当てて、電子・陽電子対を生成する反応
$$\gamma +e^{-}⟶e^{-}+e^{-}+e^{+}$$
を起こしたい。電子と陽電子の質量はどちらも $m$ で、静止エネルギーは $m{c}^2$ である。光子では $E=pc$ が成り立ち、反応の前後で全エネルギーと全運動量が保存される。$c$ は真空中の光速である。

この反応が起こるための光子のエネルギー $E_{\gamma }$ の最小値（しきいエネルギー）は、$m{c}^2$ の何倍か。