2 体崩壊のエネルギーと運動量

静止した粒子が 2 つの粒子に崩壊するとき、エネルギーと運動量の保存（または不変質量）から、崩壊生成物それぞれのエネルギー $E_{1} = \frac{M ^{2} + m _{1}^{2} - m _{2}^{2}}{2 M} c^{2}$ ・運動量・運動エネルギーを求められる

前提

不変質量（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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説明

静止している質量 $M$ の粒子が、質量 $m_{1}$ と $m_{2}$ の 2 つの粒子に崩壊するとき、生成された粒子それぞれのエネルギー・運動量・運動エネルギーを求める技能です。2 体崩壊では生成物のエネルギーは崩壊の向きによらず 1 つに決まり、粒子 1 のエネルギーは $E_{1} = \frac{M ^{2} + m _{1}^{2} - m _{2}^{2}}{2 M} c^{2}$ です。パイ中間子の崩壊でできるミュー粒子のエネルギーや、原子核が光子を出して状態を変えるときの光子のエネルギーなどを求めるのに使います。

なぜそうしてよいのか

崩壊前の粒子は静止しているので、全エネルギーは $M c^{2}$ 、全運動量は $0$ です。保存則から、崩壊後は
$E_{1} + E_{2} = M c^{2}, p_{1} + p_{2} = 0$
となります。2 つめの式から 2 つの粒子は互いに逆向きに飛び出し、運動量の大きさは等しい（ $∣ p_{1} ∣ = ∣ p_{2} ∣ = p$ ）ことがわかります。これは不変質量の言葉でいえば、崩壊後の 2 粒子系の不変質量が元の粒子の質量 $M$ に等しく、もとの粒子の静止系がちょうど重心系になっている、ということです。

各粒子について $E_{i}^{2} = (p c)^{2} + (m_{i} c^{2})^{2}$ が成り立ち、 $p$ が共通なので、引き算すると $p$ が消えて
$E_{1}^{2} - E_{2}^{2} = (m_{1}^{2} - m_{2}^{2}) c^{4}$
です。左辺を $(E_{1} + E_{2}) (E_{1} - E_{2}) = M c^{2} (E_{1} - E_{2})$ と因数分解すると $E_{1} - E_{2} = \frac{( m _{1}^{2} - m _{2}^{2} ) c ^{2}}{M}$ となり、 $E_{1} + E_{2} = M c^{2}$ と足して 2 で割れば
$E_{1} = \frac{M ^{2} + m _{1}^{2} - m _{2}^{2}}{2 M} c^{2}, E_{2} = \frac{M ^{2} + m _{2}^{2} - m _{1}^{2}}{2 M} c^{2}$
が得られます。

あとは運動量の大きさを $p c = E_{1}^{2} - (m_{1} c^{2})^{2}$ 、運動エネルギーを $K_{1} = E_{1} - m_{1} c^{2}$ で求めます。崩壊が起こるには $M ≧ m_{1} + m_{2}$ が必要で、 $K_{1} + K_{2} = (M - m_{1} - m_{2}) c^{2}$ （質量の減少分）が 2 つの粒子に分けられます。

手順

崩壊前の粒子が静止していることを確かめ、 $M$ , $m_{1}$ , $m_{2}$ を書き出す（光子なら質量 0）。 $M ≧ m_{1} + m_{2}$ を確認する
保存則 $E_{1} + E_{2} = M c^{2}$ と、運動量の大きさが等しいこと $∣ p_{1} ∣ = ∣ p_{2} ∣ = p$ を書く
$E_{1} = \frac{M ^{2} + m _{1}^{2} - m _{2}^{2}}{2 M} c^{2}$ （ $E_{2}$ は $m_{1}$ と $m_{2}$ を入れかえる）でエネルギーを求める
運動量の大きさを $p c = E_{1}^{2} - (m_{1} c^{2})^{2}$ で求める（光子が出るなら $p c = E_{光子}$ でもよい）
運動エネルギーを $K_{1} = E_{1} - m_{1} c^{2}$ で求め、 $K_{1} + K_{2} = (M - m_{1} - m_{2}) c^{2}$ で確かめる

例題

静止している質量 $M$ の粒子が、質量 $\frac{M}{2}$ の粒子 1 と光子 1 個に崩壊した。粒子 1 の運動エネルギーは $M c^{2}$ の何倍か。分数で求めよ。ただし $c$ は真空中の光の速さとする。

例題の解答

手順1: $m_{1} = \frac{M}{2}$ 、光子は $m_{2} = 0$ 。 $M ≧ \frac{M}{2} + 0$ なので崩壊できる。

手順2: $E_{1} + E_{γ} = M c^{2}$ 、粒子 1 と光子の運動量の大きさは等しい。

手順3: $E_{1} = \frac{M ^{2} + ( \frac{M}{2} ) ^{2} - 0}{2 M} c^{2} = \frac{\frac{5}{4} M ^{2}}{2 M} c^{2} = \frac{5}{8} M c^{2}$

手順4: 光子のエネルギーは $E_{γ} = M c^{2} - \frac{5}{8} M c^{2} = \frac{3}{8} M c^{2}$ なので $p c = \frac{3}{8} M c^{2}$ 。確認として $E_{1}^{2} - (p c)^{2} = (\frac{25}{64} - \frac{9}{64}) (M c^{2})^{2} = \frac{1}{4} (M c^{2})^{2} = (m_{1} c^{2})^{2}$ となり合っている。

手順5: $K_{1} = E_{1} - m_{1} c^{2} = \frac{5}{8} M c^{2} - \frac{1}{2} M c^{2} = \frac{1}{8} M c^{2}$
$K_{1} + E_{γ} = \frac{1}{8} M c^{2} + \frac{3}{8} M c^{2} = \frac{1}{2} M c^{2} = (M - m_{1}) c^{2}$ で、質量の減少分と一致する。

よって $\frac{1}{8}$ 倍である。

答え: $\frac{1}{8}$

よくある誤り

質量の減少分 $(M - m_{1} - m_{2}) c^{2}$ を 2 つの粒子で等分したり、非相対論的に質量の逆比で分けたりしてしまう誤り。正しくは $E_{1} = \frac{M ^{2} + m _{1}^{2} - m _{2}^{2}}{2 M} c^{2}$ から $K_{1} = E_{1} - m_{1} c^{2}$ を求める。例題では $\frac{1}{4} M c^{2}$ ではなく $\frac{1}{8} M c^{2}$ である。
公式で $m_{1}$ と $m_{2}$ の符号を取り違えて $E_{1} = \frac{M ^{2} - m _{1}^{2} + m _{2}^{2}}{2 M} c^{2}$ としてしまう誤り。求めたい粒子自身の質量の 2 乗が $+$ 、相手の質量の 2 乗が $-$ である。 $m_{1} > m_{2}$ なら $E_{1} > E_{2}$ となることで確かめられる。
2 つの粒子のエネルギーや速さが等しいとしてしまう誤り。等しいのは運動量の大きさ $∣ p_{1} ∣ = ∣ p_{2} ∣$ であり、質量が違えばエネルギーも速さも違う。
全エネルギー $E_{1}$ と運動エネルギー $K_{1}$ を混同する誤り。 $E_{1}$ は静止エネルギーを含むので、運動エネルギーは $K_{1} = E_{1} - m_{1} c^{2}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
実験室系（慣性系とする）で静止している、静止エネルギー $M c^{2} = 500 MeV$ の粒子 X が、静止エネルギー $m_{1} c^{2} = 300 MeV$ の粒子 1 と、静止エネルギー $m_{2} c^{2} = 100 MeV$ の粒子 2 の 2 つだけに崩壊した。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存される。 $c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
崩壊後の粒子 1 の全エネルギー $E_{1}$ を $MeV$ 単位で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（期末試験の応用レベル）
ある慣性系で静止している質量 $M$ の粒子 X が、質量 $m$ の粒子 Y と質量 $0$ の粒子 Z の 2 つに崩壊した（ $0 < m < M$ とする）。崩壊の前後で 4 元運動量（エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。この慣性系で測った粒子 Y の運動エネルギーを、 $M$ , $m$ , $c$ を用いて表せ。

この技能の次に学べること

2 体崩壊の崩壊幅（大学院物理場の量子論）