4 元運動量とそのローレンツ変換

4 元運動量 $(E / c, p)$ がローレンツ変換 $E^{'} = γ (E - v p_{x})$ , $p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{v E}{c ^{2}})$ に従うことを使って、別の慣性系での粒子や光子のエネルギー・運動量を求められる

前提

相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）

説明

粒子や光子のエネルギー $E$ と運動量 $p$ がわかっている慣性系 $S$ から、 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $v$ で動く慣性系 $S^{'}$ に移ったときの $E^{'}$ と $p^{'}$ を求める技能です。 $(E / c, p_{x}, p_{y}, p_{z})$ の 4 つを組にした「4 元運動量」が、時刻と位置の組 $(c t, x, y, z)$ と同じローレンツ変換に従うことを使い、 $E^{'} = γ (E - v p_{x})$ , $p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{v E}{c ^{2}})$ , $p_{y}^{'} = p_{y}$ , $p_{z}^{'} = p_{z}$ で計算します。速度を経由せずに、別の系での光子のエネルギーや粒子の運動量を直接求めたいときに便利です。

なぜそうしてよいのか

ローレンツ変換は、 $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ として
$c t^{'} = γ (c t - \frac{v}{c} x), x^{'} = γ (x - \frac{v}{c} c t), y^{'} = y, z^{'} = z$
でした。粒子が少し動く間の変化 $(c Δ t, Δ x, Δ y, Δ z)$ も同じ形で変換されます。これを粒子の固有時 $Δ τ$ で割ります。固有時は粒子自身の時計の時間なので、どの慣性系で計算しても同じ値です。さらに質量 $m$ をかけると、時間の遅れ $Δ t = γ_{u} Δ τ$ （ $γ_{u}$ は粒子の速さ $u$ で決まる因子）から
$m \frac{c Δ t}{Δ τ} = γ_{u} m c = \frac{E}{c}, m \frac{Δ x}{Δ τ} = γ_{u} m u = p$
となります。共通の数 $m /Δ τ$ をかけただけなので、 $(E / c, p)$ は $(c t, x)$ とまったく同じ規則で変換されます。 $c t \to E / c$ , $x \to p_{x}$ と置きかえて整理すると
$E^{'} = γ (E - v p_{x}), p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{v E}{c ^{2}}), p_{y}^{'} = p_{y}, p_{z}^{'} = p_{z}$
です。

この変換で $E^{2} - (p c)^{2}$ は変わりません（実際に代入すると $γ^{2} (1 - v^{2} / c^{2}) = 1$ により元に戻ります）。これは $E^{2} - (p c)^{2} = (m c^{2})^{2}$ がどの系でも同じ質量を与えることと対応しています。光子は $m = 0$ なので、変換後も $E^{'} = ∣ p^{'} ∣ c$ が保たれます。

手順

系 $S$ での $E$ と運動量の成分 $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ を書き出す（ $x$ 軸を $S^{'}$ の運動の向きに合わせる。光子なら $E = p c$ から成分を出す）
$S^{'}$ の $S$ に対する速さ $v$ から $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ を計算する（粒子の速さではなく系の相対速度を使う）
$E^{'} = γ (E - v p_{x})$ を計算する
$p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{v E}{c ^{2}})$ を計算し、垂直な成分は $p_{y}^{'} = p_{y}$ , $p_{z}^{'} = p_{z}$ とそのまま写す
確認として $E^{'2} - (p^{'} c)^{2} = E^{2} - (p c)^{2}$ （ $= (m c^{2})^{2}$ ）が成り立つことを確かめる

例題

慣性系 $S$ で、エネルギー $E$ の光子が $x$ 軸の正の向きに進んでいる。 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $0.6 c$ で動く慣性系 $S^{'}$ （ $x^{'}$ 軸は $x$ 軸と平行）で見たこの光子のエネルギー $E^{'}$ は、 $E$ の何倍か。分数で求めよ。ただし $c$ は真空中の光の速さとする。

例題の解答

手順1: 光子は $x$ 軸の正の向きに進むので $p_{x} = \frac{E}{c}$ , $p_{y} = p_{z} = 0$ 。

手順2: $v = 0.6 c$ より $γ = \frac{1}{1 - 0.36} = \frac{1}{0.8} = \frac{5}{4}$ 。

手順3: $E^{'} = γ (E - v p_{x}) = \frac{5}{4} (E - 0.6 c \cdot \frac{E}{c}) = \frac{5}{4} \times 0.4 E = \frac{1}{2} E$

手順4: $p_{x}^{'} = \frac{5}{4} (\frac{E}{c} - \frac{0.6 c \cdot E}{c ^{2}}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{E}{c}$ , $p_{y}^{'} = p_{z}^{'} = 0$ 。

手順5: $E^{'2} - (p_{x}^{'} c)^{2} = (\frac{E}{2})^{2} - (\frac{E}{2})^{2} = 0$ で、光子（質量 0）の関係が保たれている。

よって $E^{'}$ は $E$ の $\frac{1}{2}$ 倍である。

答え: $\frac{1}{2}$

よくある誤り

エネルギーの変換を $E^{'} = γ E$ としてしまう誤り（時間の遅れと同じ感覚で $γ$ をかけるだけにする）。正しくは運動量の項も入って $E^{'} = γ (E - v p_{x})$ で、例題では $\frac{5}{4} E$ ではなく $\frac{1}{2} E$ になる。
$p_{x}^{'}$ の式で $c^{2}$ を落として $p_{x}^{'} = γ (p_{x} - v E)$ としてしまう誤り。単位をそろえると $p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{v E}{c ^{2}})$ である（ $E / c$ を時間成分として扱えば $p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{v}{c} \cdot \frac{E}{c})$ ）。
$γ$ に粒子の速さ $u$ を使ってしまう誤り。変換の $γ$ は系の相対速度 $v$ で決まる $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ である（粒子の $γ_{u}$ は $E = γ_{u} m c^{2}$ の中にすでに入っている）。
運動と垂直な成分 $p_{y}$ にも $γ$ をかけたり、 $- \frac{v E}{c ^{2}}$ の項を加えたりする誤り。垂直な成分は変わらず $p_{y}^{'} = p_{y}$ , $p_{z}^{'} = p_{z}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
慣性系 $S$ で、ある粒子が $x$ 軸の正の向きに運動しており、そのエネルギーは $E = 1000 MeV$ 、運動量の $x$ 成分は $p_{x} = 800 MeV / c$ （ $y$ , $z$ 成分は $0$ ）である。 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $v = \frac{3}{5} c$ で動く慣性系 $S^{'}$ （ $x^{'}$ 軸は $x$ 軸と重なり同じ向き）から、この粒子を見る。 $c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
4 元運動量 $(E / c, p)$ のローレンツ変換
$E^{'} = γ (E - v p_{x}), p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{v E}{c ^{2}}), γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$
を用いて、 $S^{'}$ での粒子のエネルギー $E^{'}$ を $MeV$ 単位で求めよ。

この技能の次に学べること

不変質量（大学物理特殊相対論）
運動する観測者から見た背景放射（大学物理宇宙物理・宇宙論）