運動する観測者から見た背景放射

相対論的ドップラー因子 $\frac{ν ^{'}}{ν} = \frac{1 + β cos θ ^{'}}{1 - β ^{2}}$ と $I_{ν} / ν^{3}$ の不変性から、運動する観測者が見る方向ごとの温度 $T^{'} (θ^{'}) = \frac{T _{0} 1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$ （向きのとり方に応じて符号を合わせる）を求め、 $T^{'4}$ を全方向で積分してエネルギー密度の比などを求められる

前提

相対論的ドップラー効果（大学物理特殊相対論）
4 元運動量とそのローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
光子気体の分配関数と自由エネルギー（大学物理統計力学）

この技能までの道筋（159 技能）

算数中学高校大学大学院

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速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
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相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
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相対速度（高校物理運動の表し方）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
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乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
ドップラー効果（高校物理波動）
相対論的ドップラー効果（大学物理特殊相対論）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
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磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流が磁場から受ける力（フレミングの左手の法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
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静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
陰極線と電気素量（高校物理原子（知識））
ラザフォードの原子模型（高校物理原子（知識））
原子核の構成と核力（高校物理原子（知識））
質量とエネルギーの等価性と結合エネルギー（高校物理原子（知識））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）
4 元運動量とそのローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
熱力学関数と自然な変数（大学物理熱力学）
分配関数から求める自由エネルギー・エントロピー・熱容量（大学物理統計力学）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
量子調和振動子の統計力学（大学物理統計力学）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
光子気体の分配関数と自由エネルギー（大学物理統計力学）

説明

宇宙背景放射（CMB）のように、ある慣性系で全方向から温度 $T_{0}$ の黒体放射が一様に届いているとき、その系に対して速さ $v = β c$ で動く観測者には、放射がどう見えるかを求める技能です。観測者が見る放射は、どの方向でもやはり黒体放射のスペクトルをもちますが、その温度が見る方向 $θ^{'}$ によって $T^{'} (θ^{'}) = \frac{T _{0} 1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$ と変わります（ $θ^{'}$ は観測者の系で測った、進行方向と視線のなす角）。さらに $T^{'4}$ を全方向で積分すると、観測者が測る放射のエネルギー密度などが求められます。地球（太陽系）の運動による CMB の「双極子」の温度むらの解析などに使います。

なぜそうしてよいのか

まず光子 1 個の振動数の変換です。放射が等方的な系を $S$ 、 $S$ に対して $x$ 軸正の向きに速さ $v$ で動く観測者の系を $S^{'}$ とします。観測者が自分の進行方向から角 $θ^{'}$ の方向を見ているとき、そこから届く光子は向き $- n^^{'}$ に進むので、 $S^{'}$ での運動量の $x$ 成分は $p_{x}^{'} = - \frac{E ^{'}}{c} cos θ^{'}$ です。4 元運動量の逆変換 $E = γ (E^{'} + v p_{x}^{'})$ （ $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}}$ ）に入れると $E = γ E^{'} (1 - β cos θ^{'})$ 、 $E = h ν$ だから
$\frac{ν ^{'}}{ν} = \frac{1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$
となります。 $θ^{'} = 0$ （真正面）では $\frac{1 + β}{1 - β}$ 、 $θ^{'} = π$ （真後ろ）では $\frac{1 - β}{1 + β}$ となり、前提の技能の近づく・遠ざかるときのドップラー因子に一致します。なお、角度を $S$ 側で測った視線の角 $θ$ で書くと $\frac{ν ^{'}}{ν} = γ (1 + β cos θ)$ となり、こちらの形で書かれることもあります（どちらの系の角か、視線方向か光の進む向きかで符号が変わるので、必ず真正面で青方偏移になるかを確かめます）。

次にスペクトルの形です。単位時間・単位面積・単位立体角・単位振動数あたりに届くエネルギーを比強度 $I_{ν}$ と呼びます。黒体放射では、前提の技能の量子調和振動子の平均占有数 $n = \frac{1}{e ^{h ν / k_{B} T} - 1}$ と、偏光 2 つ・光速 $c$ で運ばれることから $I_{ν} = \frac{2 h ν ^{3}}{c ^{2}} n$ です。つまり $\frac{I _{ν}}{ν ^{3}}$ は、ある向き・ある振動数の 1 つのモードに光子が平均何個いるか（占有数）に比例します。光子の個数を数えた結果は、どの慣性系で数えても同じなので、 $\frac{I _{ν}}{ν ^{3}}$ はローレンツ変換で変わりません。したがって $S^{'}$ で見た方向 $θ^{'}$ の比強度は
$\frac{I _{ν^{'}}^{'}}{ν ^{'3}} = \frac{I _{ν}}{ν ^{3}} = \frac{2 h}{c ^{2}} \frac{1}{e ^{h ν / k_{B} T_{0}} - 1} = \frac{2 h}{c ^{2}} \frac{1}{e ^{h ν^{'} / k_{B} T^{'}} - 1}, T^{'} = T_{0} \frac{ν ^{'}}{ν}$
となり、方向ごとに温度 $T^{'} (θ^{'}) = \frac{T _{0} 1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$ の黒体放射に見えます。

最後にエネルギー密度です。等方的な温度 $T$ の黒体放射のエネルギー密度を $u = a T^{4}$ （ $a = \frac{π ^{2} k _{B}^{4}}{15 ℏ ^{3} c ^{3}}$ 、前提の技能の内部エネルギーを体積で割ったもの）とすると、立体角 $d Ω$ の方向から来る分は $\frac{a T ^{4}}{4 π} d Ω$ です。方向ごとに温度が違うときは、これを方向ごとの温度で足し合わせて $u^{'} = \frac{a}{4 π} \int T^{'} (θ^{'})^{4} d Ω^{'}$ とします。 $d Ω^{'} = 2 π sin θ^{'} d θ^{'}$ で $μ = cos θ^{'}$ と置換すれば、 $\int_{- 1}^{1} \frac{d μ}{( 1 - β μ ) ^{4}} = \frac{1}{3 β} [\frac{1}{( 1 - β ) ^{3}} - \frac{1}{( 1 + β ) ^{3}}] = \frac{2 ( 3 + β ^{2} )}{3 ( 1 - β ^{2} ) ^{3}}$ から
$\frac{u ^{'}}{u} = \frac{3 + β ^{2}}{3 ( 1 - β ^{2} )}$
が得られます。

手順

向きを決める：放射が等方的な系に対する観測者の速度の向きを基準にし、観測者の系で測った視線の角を $θ^{'}$ （ $θ^{'} = 0$ が真正面）とする
その方向の振動数の比を求める： $\frac{ν ^{'}}{ν} = \frac{1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$ （真正面で $ν^{'} > ν$ になることを確かめる）
$I_{ν} / ν^{3}$ の不変性から、その方向の温度を求める： $T^{'} (θ^{'}) = T_{0} \frac{ν ^{'}}{ν} = \frac{T _{0} 1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$
全方向の量が必要なら、方向ごとの寄与 $\frac{a T ^{'4}}{4 π} d Ω^{'}$ を足し合わせる： $u^{'} = \frac{a}{4 π} \int_{0}^{π} T^{'} (θ^{'})^{4} 2 π sin θ^{'} d θ^{'}$
$μ = cos θ^{'}$ と置換して積分し、等方的なときの $u = a T_{0}^{4}$ との比をとる： $\frac{u ^{'}}{u} = \frac{3 + β ^{2}}{3 ( 1 - β ^{2} )}$

例題

ある慣性系で、全方向から一様に温度 $T_{0}$ の黒体放射が満ちている。この系に対して速さ $v = \frac{3}{5} c$ で等速直線運動する観測者が測る、この放射のエネルギー密度 $u^{'}$ は、もとの系でのエネルギー密度 $u$ の何倍か。分数で求めよ。ただし、温度 $T$ の等方的な黒体放射のエネルギー密度は定数 $a$ を用いて $a T^{4}$ と書け、そのうち立体角 $d Ω$ の方向から届く分は $\frac{a T ^{4}}{4 π} d Ω$ であるとする。また、 $I_{ν} / ν^{3}$ （ $I_{ν}$ は比強度）はローレンツ変換で不変であるとしてよい。

例題の解答

手順 1：観測者の進行方向を基準に、観測者の系での視線の角を $θ^{'}$ とする。 $β = \frac{3}{5}$ 、 $1 - β^{2} = \frac{4}{5}$ 。

手順 2：方向 $θ^{'}$ から届く光の振動数の比は $\frac{ν ^{'}}{ν} = \frac{1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$ 。

手順 3： $I_{ν} / ν^{3}$ が不変なので、その方向の放射は温度 $T^{'} (θ^{'}) = \frac{T _{0} 1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$ の黒体放射に見える。

手順 4：全方向で足し合わせて
$u^{'} = \frac{a}{4 π} \int_{0}^{π} \frac{T _{0}^{4} ( 1 - β ^{2} ) ^{2}}{( 1 - β cos θ ^{'} ) ^{4}} 2 π sin θ^{'} d θ^{'} = \frac{a T _{0}^{4} ( 1 - β ^{2} ) ^{2}}{2} \int_{- 1}^{1} \frac{d μ}{( 1 - β μ ) ^{4}} .$

手順 5： $\int_{- 1}^{1} \frac{d μ}{( 1 - β μ ) ^{4}} = \frac{1}{3 β} [\frac{1}{( 1 - β ) ^{3}} - \frac{1}{( 1 + β ) ^{3}}] = \frac{2 ( 3 + β ^{2} )}{3 ( 1 - β ^{2} ) ^{3}}$ なので
$\frac{u ^{'}}{u} = \frac{3 + β ^{2}}{3 ( 1 - β ^{2} )} = \frac{3 + \frac{9}{25}}{3 \cdot \frac{16}{25}} = \frac{84}{48} = \frac{7}{4} .$

よって $\frac{7}{4}$ 倍である。

答え: $\frac{7}{4}$

よくある誤り

温度の式の符号を逆にして $T^{'} = \frac{T _{0} 1 - β ^{2}}{1 + β cos θ ^{'}}$ （ $θ^{'}$ は視線の角）としてしまう誤り。これでは真正面 $θ^{'} = 0$ が低温になってしまう。視線方向の角 $θ^{'}$ なら正しくは $T^{'} = \frac{T _{0} 1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}$ で、真正面は $T_{0} \frac{1 + β}{1 - β}$ と高温になる。
観測者の系の角 $θ^{'}$ と、もとの系の角 $θ$ を混ぜて使ってしまう誤り。 $\frac{ν ^{'}}{ν} = γ (1 + β cos θ)$ は $S$ 側の角、 $\frac{ν ^{'}}{ν} = \frac{1}{γ ( 1 - β cos θ ^{'} )}$ は $S^{'}$ 側の角での式であり、観測者が測るエネルギー密度は観測者の立体角 $d Ω^{'}$ で積分するので、 $θ^{'}$ の式を使う。
全方向の平均温度を求めてから 4 乗してしまう誤り（ $T ˉ^{'} = \frac{1}{4 π} \int T^{'} d Ω^{'}$ として $u^{'} = a T ˉ^{'4}$ とするなど）。正しくは方向ごとに 4 乗してから積分し、 $u^{'} = \frac{a}{4 π} \int T^{'4} d Ω^{'}$ 。
エネルギー密度もドップラー因子 1 回分や $γ^{2}$ 倍だけ変わるとしてしまう誤り。全方向で積分すると正しくは $\frac{u ^{'}}{u} = \frac{3 + β ^{2}}{3 ( 1 - β ^{2} )} = γ^{2} (1 + \frac{β ^{2}}{3})$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある慣性系 $S$ では、宇宙背景放射が温度 $T_{0}$ の等方的な黒体放射になっている。この系 $S$ に対して速さ $v = \frac{3}{5} c$ （ $c$ は真空中の光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で、観測者の進行方向と観測者が見る向き（視線の向き）とのなす角を $θ^{'}$ とすると、その向きに見える放射も黒体放射であり、その温度は
$T^{'} (θ^{'}) = \frac{T _{0} 1 - β ^{2}}{1 - β cos θ ^{'}}, β = \frac{v}{c}$
で与えられる。観測者が真正面（ $θ^{'} = 0$ ）に見る放射の温度は、真後ろ（ $θ^{'} = π$ ）に見る放射の温度の何倍か。正確な値で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
宇宙マイクロ波背景放射（CMB）が等方的に見える座標系（CMB 静止系）では、CMB は温度 $T_{0}$ の等方的な黒体放射であり、そのエネルギー密度は $u_{0} = a T_{0}^{4}$ （ $a$ は放射定数）である。この系に対して一定の速さ $v = β c$ （ $0 < β < 1$ 、 $c$ は光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で測った CMB の（全振動数・全方向について積分した）エネルギー密度を $u^{'}$ とするとき、比 $u^{'} / u_{0}$ を $β$ で表せ。
ただし、放射の比強度 $I_{ν}$ と振動数 $ν$ について $I_{ν} / ν^{3}$ はローレンツ変換で不変であることを用いてよい。宇宙膨張の効果や重力の効果は考えず、特殊相対論の範囲で扱うものとする。