不変質量

粒子系の 4 元運動量の和の 2 乗 $M^{2} c^{4} = E_{tot}^{2} - ∣ p_{tot} ∣^{2} c^{2}$ がどの慣性系でも同じことを使って、2 粒子の不変質量や重心系での全エネルギー、重心系の速さ $v = \frac{p _{tot} c ^{2}}{E _{tot}}$ を求められる

前提

4 元運動量とそのローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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4 元運動量とそのローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

説明

いくつかの粒子をまとめて 1 つの系とみなしたとき、その系の全エネルギー $E_{tot}$ と全運動量 $p_{tot}$ から作った $M^{2} c^{4} = E_{tot}^{2} - ∣ p_{tot} ∣^{2} c^{2}$ は、どの慣性系で計算しても同じ値になります。この $M$ を系の「不変質量」といいます。加速器で粒子どうしを衝突させたときに新しい粒子を作るのに使えるエネルギー（重心系での全エネルギー $M c^{2}$ ）を求めたり、崩壊で出てきた粒子から元の粒子の質量を求めたり、重心系の速さ $v = \frac{p _{tot} c ^{2}}{E _{tot}}$ を求めたりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

各粒子の $(E_{i} / c, p_{i})$ はどれも同じローレンツ変換 $E^{'} = γ (E - v p_{x})$ , $p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{v E}{c ^{2}})$ , $p_{y}^{'} = p_{y}$ , $p_{z}^{'} = p_{z}$ に従います。この変換は 1 次式（足し算と定数倍だけ）なので、和 $E_{tot} = \sum E_{i}$ , $p_{tot} = \sum p_{i}$ もまったく同じ式で変換されます。すると 1 粒子のときと同じ計算で
$E_{tot}^{'2} - (p_{x}^{'})^{2} c^{2} = γ^{2} (1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}) (E_{tot}^{2} - p_{x}^{2} c^{2}) = E_{tot}^{2} - p_{x}^{2} c^{2}$
（ $p_{x}$ は全運動量の $x$ 成分）となり、 $y, z$ 成分は変わらないので $E_{tot}^{2} - ∣ p_{tot} ∣^{2} c^{2}$ は系によらない値です。これを $M^{2} c^{4}$ と書きます。

特に全運動量が 0 になる慣性系（重心系）では $M^{2} c^{4} = E_{cm}^{2}$ なので、重心系での全エネルギーは $E_{cm} = M c^{2}$ です。重心系の速度は、 $x$ 軸を $p_{tot}$ の向きにとり、変換後の運動量 $p_{x}^{'} = γ (p_{tot} - \frac{v E _{tot}}{c ^{2}})$ が 0 になる条件から $v = \frac{p _{tot} c ^{2}}{E _{tot}}$ と求まります。 $E_{tot} > p_{tot} c$ なら $v < c$ です。

注意したいのは、不変質量は各粒子の質量の和ではないことです。粒子どうしが互いに動いていれば、その運動エネルギーの分だけ $M$ は質量の和より大きくなります。質量 0 の光子 2 個でも、違う向きに進んでいれば $M > 0$ です。

手順

ある 1 つの慣性系（実験室系など）で、各粒子のエネルギー $E_{i}$ と運動量の成分を求める（ $E_{i}^{2} = (p_{i} c)^{2} + (m_{i} c^{2})^{2}$ を使う）
全エネルギー $E_{tot} = \sum E_{i}$ と全運動量 $p_{tot} = \sum p_{i}$ を成分ごとの和として求める
$M^{2} c^{4} = E_{tot}^{2} - ∣ p_{tot} ∣^{2} c^{2}$ を計算し、 $M$ （または重心系での全エネルギー $M c^{2}$ ）を求める
必要なら重心系の速さを $v = \frac{p _{tot} c ^{2}}{E _{tot}}$ で求める
$M$ が各粒子の質量の和以上になっていることを確かめる

例題

実験室系で、質量 $m$ の粒子 A が全エネルギー $7 m c^{2}$ で $x$ 軸の正の向きに運動し、静止している質量 $m$ の粒子 B に衝突する。衝突前の A と B をあわせた系の不変質量 $M$ は $m$ の何倍か。ただし $c$ は真空中の光の速さとする。

例題の解答

手順1: A のエネルギーは $E_{A} = 7 m c^{2}$ 。 $E_{A}^{2} = (p_{A} c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ より $p_{A} c = 49 - 1 m c^{2} = 43 m c^{2}$ （ $x$ 軸の正の向き）。B は静止しているので $E_{B} = m c^{2}$ , $p_{B} = 0$ 。

手順2: $E_{tot} = 7 m c^{2} + m c^{2} = 8 m c^{2}$ 、 $p_{tot} c = 43 m c^{2}$ 。

手順3: $M^{2} c^{4} = (8 m c^{2})^{2} - (43 m c^{2})^{2} = (64 - 48) (m c^{2})^{2} = 16 (m c^{2})^{2}$
より $M c^{2} = 4 m c^{2}$ 、 $M = 4 m$ 。

手順4（参考）: 重心系の速さは $v = \frac{p _{tot} c ^{2}}{E _{tot}} = \frac{4 3}{8} c = \frac{3}{2} c$ 。

手順5: $4 m ≧ m + m = 2 m$ を満たしている。

よって $M$ は $m$ の $4$ 倍である。

答え: $4$

よくある誤り

各粒子の $E_{i}^{2} - (p_{i} c)^{2}$ を足して $M^{2} c^{4} = \sum m_{i}^{2} c^{4}$ としてしまう誤り。先に $E_{tot}$ と $p_{tot}$ を足してから 2 乗の差をとる。例題では $(m c^{2})^{2} + (m c^{2})^{2}$ ではなく $(8 m c^{2})^{2} - (43 m c^{2})^{2} = 16 (m c^{2})^{2}$ である。
不変質量を質量の和 $M = \sum m_{i}$ としてしまう誤り。粒子どうしが動いていれば $M$ は質量の和より大きい。例題では $2 m$ ではなく $4 m$ である。
運動量を大きさのまま足してしまう誤り。 $p_{tot}$ はベクトルの和なので成分ごとに足す。たとえばエネルギー $ε$ の光子 2 個が正面衝突するときは $p_{tot} = 0$ で $M c^{2} = 2 ε$ となり、同じ向きに進むときは $p_{tot} c = 2 ε$ で $M = 0$ となる。
重心系の速さを $v = \frac{p _{tot}}{M}$ や $\frac{p _{tot}}{\sum m _{i}}$ と非相対論的に求めてしまう誤り。正しくは $v = \frac{p _{tot} c ^{2}}{E _{tot}}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
実験室系（慣性系とする）で、2 個の光子が $x$ 軸上を互いに逆向きに進んでいる。光子 A はエネルギー $E_{A} = 8.0 MeV$ で $x$ 軸の正の向きに、光子 B はエネルギー $E_{B} = 2.0 MeV$ で $x$ 軸の負の向きに進む。光子では $E = p c$ が成り立つ。 $c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
この 2 光子からなる系の不変質量 $M$ について、 $M c^{2}$ を $MeV$ 単位で求めよ。ただし $M^{2} c^{4} = E_{tot}^{2} - ∣ p_{tot} ∣^{2} c^{2}$ である。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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