この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

特殊相対論の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理特殊相対論

実験室系（慣性系）で、質量 $m$ の粒子 A が運動エネルギー $K$ で進み、静止している質量 $2 m$ の粒子 B に衝突して、反応
$A + B \to C + D$
が起こる場合を考える。生じる粒子 C, D の質量はどちらも $2 m$ であり、ほかの粒子は生じない。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ 、 $m > 0$ とする。

この反応が起こりうる $K$ の最小値（しきいエネルギー）で反応が起こったとき、実験室系で測った粒子 C の速さは光の速さ $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

この問題で使うもの

反応のしきいエネルギー（説明と入口の問題）
不変質量（説明と入口の問題）
相対論的エネルギーと運動量（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

系全体の不変質量（ $E_{tot}^{2} - (p_{tot} c)^{2}$ ）が慣性系によらないことを使い、しきい値では生成粒子が重心系で静止していることに注目しよう。

ヒント 2

しきい条件は $(E + 2 m c^{2})^{2} - (p c)^{2} = (4 m c^{2})^{2}$ 。しきい値では C と D は重心系の速度で一緒に動く。

ヒント 3

しきい値では A の全エネルギーは $E = \frac{11}{4} m c^{2}$ 、系全体の全エネルギーは $\frac{19}{4} m c^{2}$ となる。これを質量 $4 m$ の物体のエネルギー $γ \cdot 4 m c^{2}$ とみなして $γ$ を求める。

答えと解説

答えを見る

\frac{105}{19}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

4 元運動量の大きさ（不変質量）はどの慣性系でも同じ値をとるので、これを使う。

不変質量の計算　A の全エネルギーを $E = K + m c^{2}$ 、運動量の大きさを $p$ とすると $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ 。B は静止しているので、系全体の全エネルギーは $E + 2 m c^{2}$ 、全運動量は $p$ である。系全体の不変質量 $M_{tot}$ は
$(M_{tot} c^{2})^{2} = (E + 2 m c^{2})^{2} - (p c)^{2} = (m c^{2})^{2} + (2 m c^{2})^{2} + 4 m c^{2} E = 5 m^{2} c^{4} + 4 m c^{2} E .$

しきい条件　重心系（全運動量が 0 の系）で生成粒子 C, D の全エネルギーが最小になるのは、両者が重心系で静止しているときで、そのとき全エネルギーは $(2 m + 2 m) c^{2} = 4 m c^{2}$ 。4 元運動量は保存し、不変質量は慣性系によらないので、反応が起こる条件は $M_{tot} \geq 4 m$ であり、しきい値では等号が成り立つ：
$5 m^{2} c^{4} + 4 m c^{2} E = 16 m^{2} c^{4} ⟹ E = \frac{11}{4} m c^{2} (K = \frac{7}{4} m c^{2}) .$

C の速さ　しきい値では C, D は重心系で静止しているので、実験室系では C, D はともに重心系の速度 $V$ で一緒に運動する。系全体の全エネルギーは
$E + 2 m c^{2} = \frac{19}{4} m c^{2}$
であり、これが質量 $4 m$ の物体が速さ $V$ で動くときのエネルギー $γ \cdot 4 m c^{2}$ に等しいから
$γ = \frac{19/4}{4} = \frac{19}{16} .$
よって
$\frac{V}{c} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = 1 - \frac{256}{361} = \frac{105}{361} = \frac{105}{19} .$

（確認： $p c = E^{2} - m^{2} c^{4} = m c^{2} \frac{121}{16} - 1 = \frac{105}{4} m c^{2}$ であり、全系の速さは $\frac{V}{c} = \frac{p c}{E + 2 m c ^{2}} = \frac{105 /4}{19/4} = \frac{105}{19}$ となり一致する。）

したがって C の速さは光の速さの $\frac{105}{19}$ 倍（約 $0.54$ 倍）である。

別解

$c = 1$ とおいて考える。しきい値では、重心系で生成粒子 C, D が静止する。したがって実験室系では C, D は重心の速度で一緒に動く。

不変質量の条件より、 $(E_{A} + 2 m)^{2} - p_{A}^{2} = (4 m)^{2}$ である。
$E_{A}^{2} - p_{A}^{2} = m^{2}$ を使うと、 $m^{2} + 4 m^{2} + 4 m E_{A} = 16 m^{2}$ となる。よって $E_{A} = \frac{11}{4} m$ 、すなわち $K = \frac{7}{4} m c^{2}$ である。

運動量は $p_{A} = E_{A}^{2} - m^{2} = m \frac{121}{16} - 1 = \frac{105}{4} m$ である。全エネルギーは $E = \frac{11}{4} m + 2 m = \frac{19}{4} m$ である。

重心の速さは $v / c = p c / E = \frac{105 /4}{19/4} = \frac{105}{19}$ である。

検算： $γ = E / (4 m) = \frac{19}{16}$ より $β = 1 - \frac{256}{361} = \frac{105}{19}$ となり、一致する。

特殊相対論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題