特殊相対論の問題

ある慣性系で、未知の粒子 X が崩壊して、質量 $m$ の粒子 2 個だけが生じた。この慣性系で測ると、生じた 2 個の粒子の全エネルギーはどちらも $2m{c}^2$ で、2 個の粒子の運動の向きは互いに垂直であった。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。粒子 X の質量を $M$ とするとき、$\frac{M}{m}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。

ある慣性系で、エネルギー $E$ の光子 1 とエネルギー $\epsilon$ の光子 2 が衝突し、電子と陽電子が 1 個ずつ生じる反応 $\gamma +\gamma \to e^{-}+e^{+}$ を考える。この慣性系で、衝突直前の 2 個の光子の進む向きのなす角は $\frac{2\pi }{3}$ である。電子と陽電子の質量はどちらも $m$、真空中の光の速さを $c$ とする。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとする。光子 2 のエネルギー $\epsilon$ と、2 個の光子の進む向きのなす角 $\frac{2\pi }{3}$ はどちらも変えずに、光子 1 のエネルギー $E$ だけを変えるとき、この反応が起こりうる $E$ の最小値を $m,c,\epsilon$ を用いて表せ。

ある慣性系（実験室系）で、質量 $M$ の粒子 A が静止している。エネルギー $E$ の光子が A に入射して完全に吸収され、1 個の粒子 X だけができた。吸収の前後で全エネルギーと運動量（4 元運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。粒子 X の質量を $M$, $E$, $c$ を用いて表せ。

ある慣性系で静止している質量 $M$ の粒子 X が、質量 $m$ の粒子 Y と質量 $0$ の粒子 Z の 2 つに崩壊した（$0<m<M$ とする）。崩壊の前後で 4 元運動量（エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。この慣性系で測った粒子 Y の運動エネルギーを、$M$, $m$, $c$ を用いて表せ。

実験室系（慣性系）で、質量 $m$ の粒子 A が運動エネルギー $K$ で進み、静止している質量 $2m$ の粒子 B に衝突して、反応
$$\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{C}+\mathrm{D}$$
が起こる場合を考える。生じる粒子 C, D の質量はどちらも $2m$ であり、ほかの粒子は生じない。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$、$m>0$ とする。

この反応が起こりうる $K$ の最小値（しきいエネルギー）で反応が起こったとき、実験室系で測った粒子 C の速さは光の速さ $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。