特殊相対論の問題

ある慣性系で、エネルギー $E$ の高エネルギー光子と、エネルギー $\epsilon$ の低エネルギー光子が衝突し、電子と陽電子の対を生成する反応
$$\gamma +\gamma \to e^{-}+e^{+}$$
を考える。この慣性系で測った 2 個の光子の進む向きのなす角を $\theta$（$0<\theta \le \pi$）とする。電子と陽電子の質量はともに $m$、光子の質量は $0$ とし、反応の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとする。真空中の光の速さを $c$ とする。$\epsilon$ と $\theta$ を固定したとき、この反応が起こるための $E$ の最小値を、$m$, $c$, $\epsilon$, $\theta$ を用いて表せ。

ある慣性系で、未知の粒子 X が崩壊して 2 個の光子だけが生じた。この慣性系で測ると、2 個の光子のエネルギーはそれぞれ $12\mathrm{MeV}$ と $4\mathrm{MeV}$ で、2 個の光子の進む向きのなす角は $\frac{2\pi }{3}$ であった。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、光子の質量は $0$、真空中の光の速さを $c$ とする。粒子 X の質量を $M$ とするとき、静止エネルギー $M{c}^2$ は何 $\mathrm{MeV}$ か。整数で答えよ。

ある慣性系で、未知の粒子 X が崩壊して、質量 $m$ の粒子 2 個だけが生じた。この慣性系で測ると、生じた 2 個の粒子の全エネルギーはどちらも $2m{c}^2$ で、2 個の粒子の運動の向きは互いに垂直であった。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。粒子 X の質量を $M$ とするとき、$\frac{M}{m}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。

実験室系（慣性系）で、質量 $m$ の粒子 A が運動エネルギー $K$ で進み、静止している質量 $2m$ の粒子 B に衝突して、反応
$$\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{C}+\mathrm{D}$$
が起こる場合を考える。生じる粒子 C, D の質量はどちらも $2m$ であり、ほかの粒子は生じない。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$、$m>0$ とする。

この反応が起こりうる $K$ の最小値（しきいエネルギー）で反応が起こったとき、実験室系で測った粒子 C の速さは光の速さ $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

ある慣性系（実験室系）で、質量 $M$ の粒子 A が静止している。エネルギー $E$ の光子が A に入射して完全に吸収され、1 個の粒子 X だけができた。吸収の前後で全エネルギーと運動量（4 元運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。粒子 X の質量を $M$, $E$, $c$ を用いて表せ。