反応のしきいエネルギー

反応後の粒子がすべて重心系で静止するときの不変質量が最小になることを使って、固定標的への衝突や 2 つの光子の衝突（なす角 $θ$ を含む）で反応が起こるための入射エネルギーの最小値を求められる

前提

不変質量（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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不変質量（大学物理特殊相対論）

説明

粒子どうしの衝突で新しい粒子を作る反応が起こるには、入射粒子に最低限のエネルギー（しきいエネルギー）が必要です。この技能では、衝突前の系の不変質量が反応後の粒子の質量の和以上でなければならないことを使って、そのしきいエネルギーを求めます。静止した標的に粒子を当てる固定標的実験での反粒子の生成や、2 つの光子が衝突して電子と陽電子の対を作る反応（光子がなす角 $θ$ を含む）などで使います。

なぜそうしてよいのか

衝突の前後で全エネルギーと全運動量はどちらも保存されるので、そこから作る不変質量 $M$ （ $M^{2} c^{4} = E_{tot}^{2} - ∣ p_{tot} ∣^{2} c^{2}$ ）も反応の前後で同じです。そこで反応後の状態を重心系（全運動量が 0 の系）で見ます。重心系での全エネルギーは $M c^{2}$ で、それは反応後の各粒子のエネルギーの和です。各粒子のエネルギーは $E_{i} = (p_{i} c)^{2} + (m_{i} c^{2})^{2} ≧ m_{i} c^{2}$ なので
$M c^{2} = i \sum E_{i} ≧ (i \sum m_{i}) c^{2}$
が成り立ち、等号は反応後の粒子がすべて重心系で静止しているとき（全運動量 0 とも矛盾しない）です。つまり反応が起こる条件は $M ≧ \sum m_{後}$ で、ぎりぎり起こるとき（しきい）は $M = \sum m_{後}$ です。

反応前の不変質量は、実験室系の量で計算します。質量 $m_{a}$ 、全エネルギー $E$ の粒子が静止した質量 $m_{b}$ の標的に当たるとき、 $E_{tot} = E + m_{b} c^{2}$ 、 $p_{tot} c = E^{2} - (m_{a} c^{2})^{2}$ なので
$M^{2} c^{4} = (E + m_{b} c^{2})^{2} - (E^{2} - m_{a}^{2} c^{4}) = (m_{a}^{2} + m_{b}^{2}) c^{4} + 2 E m_{b} c^{2}$
です。これを $(\sum m_{後})^{2} c^{4}$ と等しいとおいて
$E_{th} = \frac{( \sum m _{後} ) ^{2} - m _{a}^{2} - m _{b}^{2}}{2 m _{b}} c^{2}$
が得られます。

エネルギー $E_{1}$ , $E_{2}$ の 2 つの光子が角 $θ$ をなして衝突するときは、 $∣ p_{1} + p_{2} ∣^{2} c^{2} = E_{1}^{2} + E_{2}^{2} + 2 E_{1} E_{2} cos θ$ より
$M^{2} c^{4} = (E_{1} + E_{2})^{2} - ∣ p_{1} + p_{2} ∣^{2} c^{2} = 2 E_{1} E_{2} (1 - cos θ)$
です。正面衝突（ $θ = π$ ）で最も大きく、同じ向き（ $θ = 0$ ）では 0 になり反応は起こりません。

手順

反応後の粒子の質量の和 $\sum m_{後}$ を求める（しきいでの不変質量）
反応前の系の不変質量 $M^{2} c^{4} = E_{tot}^{2} - ∣ p_{tot} ∣^{2} c^{2}$ を、入射エネルギー $E$ を含む式で書く。固定標的なら $M^{2} c^{4} = (m_{a}^{2} + m_{b}^{2}) c^{4} + 2 E m_{b} c^{2}$ 、2 光子なら $M^{2} c^{4} = 2 E_{1} E_{2} (1 - cos θ)$
$M = \sum m_{後}$ とおいて $E$ について解き、しきいエネルギーを求める
問われているのが全エネルギーか運動エネルギー（ $K = E - m_{a} c^{2}$ ）かを確かめて答える

例題

静止している陽子に陽子を衝突させ、反応 $p + p \to p + p + p + p ˉ$ （ $p ˉ$ は反陽子）を起こしたい。陽子と反陽子の質量はどちらも $m$ である。この反応が起こるための、入射陽子の全エネルギーの最小値は $m c^{2}$ の何倍か。ただし $c$ は真空中の光の速さとする。

例題の解答

手順1: 反応後の粒子は質量 $m$ の粒子 4 個なので、 $\sum m_{後} = 4 m$ 。

手順2: 入射陽子の全エネルギーを $E$ とすると、固定標的の式で $m_{a} = m_{b} = m$ として
$M^{2} c^{4} = (m^{2} + m^{2}) c^{4} + 2 E m c^{2} = 2 m^{2} c^{4} + 2 E m c^{2}$

手順3: しきいでは $M = 4 m$ なので
$2 m^{2} c^{4} + 2 E m c^{2} = 16 m^{2} c^{4} ⟹ E = \frac{16 - 2}{2} m c^{2} = 7 m c^{2}$

手順4: 問われているのは全エネルギーなので $7 m c^{2}$ （運動エネルギーなら $6 m c^{2}$ ）。

よって $7$ 倍である。

答え: $7$

よくある誤り

入射粒子の運動エネルギーが、増える質量の分 $(\sum m_{後} - \sum m_{前}) c^{2}$ だけあればよいとしてしまう誤り。固定標的では全体の運動量を保つために反応後の粒子も動かなければならず、その分のエネルギーも必要になる。例題では運動エネルギー $2 m c^{2}$ ではなく $6 m c^{2}$ が必要である。
反応後の粒子がすべて実験室系で静止するときがしきいだとしてしまう誤り。静止するのは重心系であり、条件は不変質量 $M = \sum m_{後}$ で表す。
不変質量の計算で、運動量の 2 乗に $E^{2}$ をそのまま使ってしまう誤り。質量 $m_{a}$ の粒子では $(p c)^{2} = E^{2} - (m_{a} c^{2})^{2}$ であり、 $M^{2} c^{4} = (m_{a}^{2} + m_{b}^{2}) c^{4} + 2 E m_{b} c^{2}$ となる。
2 光子の不変質量で角度の扱いを誤り $M^{2} c^{4} = 2 E_{1} E_{2} (1 + cos θ)$ としてしまう誤り。正しくは $2 E_{1} E_{2} (1 - cos θ)$ で、正面衝突（ $θ = π$ ）のとき $4 E_{1} E_{2}$ 、同じ向き（ $θ = 0$ ）のとき $0$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
実験室系（慣性系とする）で静止している電子に、エネルギー $E_{γ}$ の光子 1 個を当てて、電子・陽電子対を生成する反応
$γ + e^{-} ⟶ e^{-} + e^{-} + e^{+}$
を起こしたい。電子と陽電子の質量はどちらも $m$ で、静止エネルギーは $m c^{2}$ である。光子では $E = p c$ が成り立ち、反応の前後で全エネルギーと全運動量が保存される。 $c$ は真空中の光速である。
この反応が起こるための光子のエネルギー $E_{γ}$ の最小値（しきいエネルギー）は、 $m c^{2}$ の何倍か。

反応のしきいエネルギー

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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