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特殊相対論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理特殊相対論

実験室系（慣性系）で、静止している質量 $m$ の粒子 B に、質量 $m$ の粒子 A が衝突し、反応
$A + B \to A + B + C$
によって質量 $M$ の新しい粒子 C が生成される場合を考える（ $m > 0, M > 0$ ）。反応の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。

粒子 A の運動エネルギーが、この反応が起こりうる最小の値（しきい値）であったとき、実験室系で測った生成直後の粒子 C の速さを $c, m, M$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

反応のしきいエネルギー（説明と入口の問題）
不変質量（説明と入口の問題）
相対論的エネルギーと運動量（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

不変量 $s = (全エネルギー)^{2} - (全運動量 \times c)^{2}$ を実験室系と重心系で比べましょう。しきい値のとき、生成された粒子は重心系でどのように運動しているかを考えます。

ヒント 2

しきい条件は $s = (2 m + M) c^{2}$ です。実験室系では $s = 2 m^{2} c^{4} + 2 E_{A} m c^{2}$ となります。重心系の速さは $V = P c^{2} / E_{tot}$ で求められます。

ヒント 3

しきい値では $E_{tot} = E_{A} + m c^{2} = \frac{( 2 m + M ) ^{2}}{2 m} c^{2}$ です。 $E_{tot}^{2} - (P c)^{2} = (2 m + M)^{2} c^{4}$ から $P c$ を求めましょう。

答えと解説

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\frac{M ( M + 4 m )}{M + 2 m} c

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解説を読む

不変質量の計算

実験室系で、粒子 A の全エネルギーを $E_{A}$ 、運動量の大きさを $p_{A}$ とすると、 $E_{A}^{2} - (p_{A} c)^{2} = m^{2} c^{4}$ が成り立つ。衝突前の系の全エネルギーは $E_{A} + m c^{2}$ 、全運動量の大きさは $p_{A}$ である（B は静止している）。系の不変量 $s$ は次のようになる。
$s = (E_{A} + m c^{2})^{2} - (p_{A} c)^{2} = E_{A}^{2} - (p_{A} c)^{2} + 2 E_{A} m c^{2} + m^{2} c^{4} = 2 m^{2} c^{4} + 2 E_{A} m c^{2}$
$s$ はどの慣性系で計算しても同じ値になる。また、エネルギーと運動量は保存するので、反応後の系についても同じ値になる。

しきい条件

重心系（全運動量が $0$ の系）では、 $s$ が系の全エネルギーになる。反応後の全エネルギーが最も小さくなるのは、A, B, C がすべて重心系で静止しているときで、その値は $(2 m + M) c^{2}$ である。よって反応が起こる条件は $s \geq (2 m + M) c^{2}$ である。しきい値では等号が成り立つので、
$2 m^{2} c^{4} + 2 E_{A} m c^{2} = (2 m + M)^{2} c^{4}$
となる。

しきい値のとき、生成後の 3 粒子は重心系で静止している。したがって実験室系では、3 粒子はすべて重心系の速度で一緒に運動する。粒子 C の速さは、重心系の速さ $V$ に等しい。

重心系の速さ

系の全エネルギーを $E_{tot}$ 、全運動量の大きさを $P$ とすると、重心系の速さは $V = \frac{P c ^{2}}{E _{tot}}$ である。しきい値では
$E_{tot} = E_{A} + m c^{2} = \frac{( 2 m + M ) ^{2} c ^{4} - 2 m ^{2} c ^{4}}{2 m c ^{2}} + m c^{2} = \frac{( 2 m + M ) ^{2}}{2 m} c^{2}$
となる。また $E_{tot}^{2} - (P c)^{2} = s = (2 m + M)^{2} c^{4}$ より、
$P c = E_{tot}^{2} - (2 m + M)^{2} c^{4} = (2 m + M) c^{2} \frac{( 2 m + M ) ^{2}}{4 m ^{2}} - 1$
ここで $(2 m + M)^{2} - 4 m^{2} = M (M + 4 m)$ なので、
$P c = \frac{( 2 m + M ) c ^{2} M ( M + 4 m )}{2 m}$
となる。よって
$\frac{V}{c} = \frac{P c}{E _{tot}} = \frac{( 2 m + M ) M ( M + 4 m ) / ( 2 m )}{( 2 m + M ) ^{2} / ( 2 m )} = \frac{M ( M + 4 m )}{M + 2 m}$

以上より、粒子 C の速さは
$\frac{M ( M + 4 m )}{M + 2 m} c$
である。

別解

しきい値では、反応後の 3 粒子 A, B, C は実験室系で同じ速度 $v$ で一緒に動く（重心系で全粒子が静止する）。これを使って $v$ を求める。

1. 不変量 $s$ の保存を考える。粒子 A の全エネルギーを $E_{A}$ とすると、反応前の $s = (E_{A} + m c^{2})^{2} - (p c)^{2} = 2 m^{2} c^{4} + 2 m c^{2} E_{A}$ である。しきい値では反応後の $s = (2 m + M)^{2} c^{4}$ なので、
$E_{A} = \frac{( 2 m + M ) ^{2} - 2 m ^{2}}{2 m} c^{2}$ となる。

2. 反応前の全エネルギーは $E = E_{A} + m c^{2} = \frac{( 2 m + M ) ^{2}}{2 m} c^{2}$ である。

3. A の運動量は $(p c)^{2} = (E_{A} - m c^{2}) (E_{A} + m c^{2})$ で表される。ここで $E_{A} - m c^{2} = \frac{M ( M + 4 m )}{2 m} c^{2}$ なので、
$p c = \frac{( 2 m + M ) M ( M + 4 m )}{2 m} c^{2}$ となる。

4. 全運動量は $p$ 、全エネルギーは $E$ だから、反応後の 3 粒子の共通速度は $v = \frac{p c ^{2}}{E}$ である。代入すると
$v = c \frac{M ( M + 4 m )}{2 m + M}$ となる。

検算：反応後の 3 粒子の質量の合計は $2 m + M$ なので、 $γ = \frac{E}{( 2 m + M ) c ^{2}} = \frac{2 m + M}{2 m}$ となる。これから $v / c = 1 - \frac{4 m ^{2}}{( 2 m + M ) ^{2}} = \frac{M ^{2} + 4 m M}{2 m + M}$ となり、上の結果と一致する。また $M \to 0$ のとき $v \to 0$ となり、妥当である。

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