特殊相対論の問題

ある慣性系で、エネルギー $E$ の光子 1 とエネルギー $\epsilon$ の光子 2 が衝突し、電子と陽電子が 1 個ずつ生じる反応 $\gamma +\gamma \to e^{-}+e^{+}$ を考える。この慣性系で、衝突直前の 2 個の光子の進む向きのなす角は $\frac{2\pi }{3}$ である。電子と陽電子の質量はどちらも $m$、真空中の光の速さを $c$ とする。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとする。光子 2 のエネルギー $\epsilon$ と、2 個の光子の進む向きのなす角 $\frac{2\pi }{3}$ はどちらも変えずに、光子 1 のエネルギー $E$ だけを変えるとき、この反応が起こりうる $E$ の最小値を $m,c,\epsilon$ を用いて表せ。

実験室系（慣性系）で、静止している質量 $m$ の粒子 B に、質量 $m$ の粒子 A が衝突し、反応
$$\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}$$
によって質量 $M$ の新しい粒子 C が生成される場合を考える（$m>0,M>0$）。反応の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。

粒子 A の運動エネルギーが、この反応が起こりうる最小の値（しきい値）であったとき、実験室系で測った生成直後の粒子 C の速さを $c,m,M$ を用いて表せ。

実験室系（慣性系）で、質量 $m$ の粒子 A が運動エネルギー $K$ で、静止している質量 $M$ の粒子 B に衝突し、弾性散乱する（衝突後も A, B は同じ粒子のままで、ほかの粒子は生じない）。$m>0$, $M>0$, $K>0$ とし、衝突の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとする。真空中の光の速さを $c$ とする。散乱の向きはいろいろありうる。衝突後に粒子 B が実験室系で得る運動エネルギーの最大値を、$m$, $M$, $K$, $c$ を用いて表せ。

ある慣性系で静止している質量 $M$ の粒子 X が、質量 $m$ の粒子 Y と質量 $0$ の粒子 Z の 2 つに崩壊した（$0<m<M$ とする）。崩壊の前後で 4 元運動量（エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。この慣性系で測った粒子 Y の運動エネルギーを、$M$, $m$, $c$ を用いて表せ。

ある慣性系で、未知の粒子 X が崩壊して 2 個の光子だけが生じた。この慣性系で測ると、2 個の光子のエネルギーはそれぞれ $12\mathrm{MeV}$ と $4\mathrm{MeV}$ で、2 個の光子の進む向きのなす角は $\frac{2\pi }{3}$ であった。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、光子の質量は $0$、真空中の光の速さを $c$ とする。粒子 X の質量を $M$ とするとき、静止エネルギー $M{c}^2$ は何 $\mathrm{MeV}$ か。整数で答えよ。