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特殊相対論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理特殊相対論

ある慣性系で静止している質量 $M$ の粒子 X が、質量 $m$ の粒子 Y と質量 $0$ の粒子 Z の 2 つに崩壊した（ $0 < m < M$ とする）。崩壊の前後で 4 元運動量（エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。この慣性系で測った粒子 Y の運動エネルギーを、 $M$ , $m$ , $c$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

2 体崩壊のエネルギーと運動量（説明と入口の問題）
相対論的エネルギーと運動量（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

崩壊前の全運動量は $0$ なので、Y と Z の運動量は大きさが等しく向きが反対である。エネルギー保存と運動量保存を立てる。

ヒント 2

質量 $0$ の粒子では $E = p c$ 、質量 $m$ の粒子では $E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ が成り立つ。 $E_{Y}^{2} - p^{2} c^{2} = (E_{Y} - p c) (E_{Y} + p c)$ と因数分解するとよい。

ヒント 3

エネルギー保存 $E_{Y} + p c = M c^{2}$ を使うと $E_{Y} - p c = \frac{m ^{2} c ^{2}}{M}$ が得られる。2 式から $E_{Y}$ を求め、静止エネルギーを引く。

答えと解説

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\frac{( M - m ) ^{2} c ^{2}}{2 M}

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解説を読む

孤立系の崩壊なので、4 元運動量（全エネルギーと全運動量）が保存する。

粒子 Y のエネルギーを $E_{Y}$ 、運動量の大きさを $p$ とする。崩壊前の X は静止しているので全運動量は $0$ であり、崩壊後の Y と Z の運動量は大きさが等しく向きが反対である。よって Z の運動量の大きさも $p$ である。

質量 $0$ の粒子のエネルギーと運動量の関係は $E_{Z} = p c$ 、質量 $m$ の粒子については
$E_{Y}^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4} (1)$
である。エネルギー保存より
$E_{Y} + p c = M c^{2} (2)$

$(1)$ を $(E_{Y} - p c) (E_{Y} + p c) = m^{2} c^{4}$ と変形し、 $(2)$ を代入すると
$E_{Y} - p c = \frac{m ^{2} c ^{4}}{M c ^{2}} = \frac{m ^{2} c ^{2}}{M} (3)$

$(2) + (3)$ より
$2 E_{Y} = M c^{2} + \frac{m ^{2} c ^{2}}{M} ∴ E_{Y} = \frac{( M ^{2} + m ^{2} ) c ^{2}}{2 M}$

Y の運動エネルギー $K_{Y}$ は全エネルギーから静止エネルギー $m c^{2}$ を引いたものなので
$K_{Y} = E_{Y} - m c^{2} = \frac{( M ^{2} + m ^{2} ) c ^{2} - 2 M m c ^{2}}{2 M} = \frac{( M - m ) ^{2} c ^{2}}{2 M}$

（別解：4 元運動量の不変量を使うと、 $p_{Y} = p_{X} - p_{Z}$ の 2 乗をとって $m^{2} c^{2} = M^{2} c^{2} - 2 M E_{Z}$ となり、 $E_{Z} = \frac{( M ^{2} - m ^{2} ) c ^{2}}{2 M}$ から同じ結果が得られる。）

別解

X の静止系で、Y のエネルギーと運動量を $E_{Y}$ , $p$ 、Z のエネルギーと運動量を $E_{Z}$ , $- p$ とする。保存則より $E_{Y} + E_{Z} = M c^{2}$ 。Z は質量 0 なので $E_{Z} = ∣ p ∣ c$ 。Y は $E_{Y}^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ 。

$E_{Z} = M c^{2} - E_{Y}$ より $p c = M c^{2} - E_{Y}$ 。両辺を 2 乗して $E_{Y}^{2} - m^{2} c^{4} = M^{2} c^{4} - 2 M c^{2} E_{Y} + E_{Y}^{2}$ 。よって
$E_{Y} = \frac{( M ^{2} + m ^{2} ) c ^{2}}{2 M}$

運動エネルギーは
$K = E_{Y} - m c^{2} = \frac{( M ^{2} + m ^{2} - 2 M m ) c ^{2}}{2 M} = \frac{( M - m ) ^{2} c ^{2}}{2 M}$

検算: $m \to 0$ のとき $K = M c^{2} /2$ で、質量 0 の 2 粒子に等分されるエネルギーと一致する。 $m \to M$ のとき $K \to 0$ となり、崩壊できるエネルギーがなくなることと一致する。

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