特殊相対論の問題

ある慣性系で静止している質量 $M$ の粒子 X が、質量 $m$ の粒子 Y と質量 $0$ の粒子 Z の 2 つに崩壊した（$0<m<M$ とする）。崩壊の前後で 4 元運動量（エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。この慣性系で測った粒子 Y の運動エネルギーを、$M$, $m$, $c$ を用いて表せ。

ある慣性系で、未知の粒子 X が崩壊して、質量 $m$ の粒子 2 個だけが生じた。この慣性系で測ると、生じた 2 個の粒子の全エネルギーはどちらも $2m{c}^2$ で、2 個の粒子の運動の向きは互いに垂直であった。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$ とする。粒子 X の質量を $M$ とするとき、$\frac{M}{m}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。

ある慣性系で、未知の粒子 X が崩壊して 2 個の光子だけが生じた。この慣性系で測ると、2 個の光子のエネルギーはそれぞれ $12\mathrm{MeV}$ と $4\mathrm{MeV}$ で、2 個の光子の進む向きのなす角は $\frac{2\pi }{3}$ であった。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとし、光子の質量は $0$、真空中の光の速さを $c$ とする。粒子 X の質量を $M$ とするとき、静止エネルギー $M{c}^2$ は何 $\mathrm{MeV}$ か。整数で答えよ。

ある慣性系で、エネルギー $E$ の光子 1 とエネルギー $\epsilon$ の光子 2 が衝突し、電子と陽電子が 1 個ずつ生じる反応 $\gamma +\gamma \to e^{-}+e^{+}$ を考える。この慣性系で、衝突直前の 2 個の光子の進む向きのなす角は $\frac{2\pi }{3}$ である。電子と陽電子の質量はどちらも $m$、真空中の光の速さを $c$ とする。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとする。光子 2 のエネルギー $\epsilon$ と、2 個の光子の進む向きのなす角 $\frac{2\pi }{3}$ はどちらも変えずに、光子 1 のエネルギー $E$ だけを変えるとき、この反応が起こりうる $E$ の最小値を $m,c,\epsilon$ を用いて表せ。

ある慣性系（実験室系）で、質量 $m$ の粒子 A が運動エネルギー $3m{c}^2$ で $x$ 軸の正の向きに進み、静止している同じ質量 $m$ の粒子 B に向かっている。ここで $c$ は真空中の光の速さである。A と B の 2 粒子をあわせた系の不変質量 $M$（2 粒子の 4 元運動量の和を $P^{\mu }$ としたとき $P^{\mu }{P}_{\mu }$ から決まる質量で、$M^2{c}^2={\left(\frac{E_{\text{tot}}}{c}\right)}^2-|{\mathbf{p}}_{\text{tot}}{|}^2$ を満たす $M>0$）を、$m$ を用いて表せ。ただし、特殊相対論に従うものとし、2 粒子の間の相互作用は衝突前には無視できるものとする。