特殊相対論の問題

実験室系（慣性系とする）で静止している、静止エネルギー $M{c}^2=500\mathrm{MeV}$ の粒子 X が、静止エネルギー $m_1{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子 1 と、静止エネルギー $m_2{c}^2=100\mathrm{MeV}$ の粒子 2 の 2 つだけに崩壊した。崩壊の前後で全エネルギーと全運動量は保存される。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

崩壊後の粒子 1 の全エネルギー $E_1$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

実験室系（慣性系とする）で、静止エネルギー $m{c}^2=300\mathrm{MeV}$ の粒子 A が、全エネルギー $E_A=500\mathrm{MeV}$（運動量の大きさ $p_{A}c=400\mathrm{MeV}$）で $x$ 軸の正の向きに進み、静止している静止エネルギー $M{c}^2=700\mathrm{MeV}$ の粒子 B に衝突して弾性散乱する（衝突の前後で粒子の種類と静止エネルギーは変わらず、全エネルギーと全運動量が保存される）。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

散乱の向きによって、粒子 B が受け取る運動エネルギーは変わる。粒子 B が受け取る運動エネルギーの最大値を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。

実験室系（慣性系）で、質量 $m$ の粒子 A が運動エネルギー $K$ で進み、静止している質量 $2m$ の粒子 B に衝突して、反応
$$\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{C}+\mathrm{D}$$
が起こる場合を考える。生じる粒子 C, D の質量はどちらも $2m$ であり、ほかの粒子は生じない。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとし、真空中の光の速さを $c$、$m>0$ とする。

この反応が起こりうる $K$ の最小値（しきいエネルギー）で反応が起こったとき、実験室系で測った粒子 C の速さは光の速さ $c$ の何倍か。根号を用いた正確な値で答えよ。

ある慣性系で、エネルギー $E$ の光子 1 とエネルギー $\epsilon$ の光子 2 が衝突し、電子と陽電子が 1 個ずつ生じる反応 $\gamma +\gamma \to e^{-}+e^{+}$ を考える。この慣性系で、衝突直前の 2 個の光子の進む向きのなす角は $\frac{2\pi }{3}$ である。電子と陽電子の質量はどちらも $m$、真空中の光の速さを $c$ とする。反応の前後で 4 元運動量（全エネルギーと運動量）は保存するものとする。光子 2 のエネルギー $\epsilon$ と、2 個の光子の進む向きのなす角 $\frac{2\pi }{3}$ はどちらも変えずに、光子 1 のエネルギー $E$ だけを変えるとき、この反応が起こりうる $E$ の最小値を $m,c,\epsilon$ を用いて表せ。

実験室系（慣性系とする）で、2 個の光子が $x$ 軸上を互いに逆向きに進んでいる。光子 A はエネルギー $E_A=8.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の正の向きに、光子 B はエネルギー $E_B=2.0\mathrm{MeV}$ で $x$ 軸の負の向きに進む。光子では $E=pc$ が成り立つ。$c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。

この 2 光子からなる系の不変質量 $M$ について、$M{c}^2$ を $\mathrm{MeV}$ 単位で求めよ。ただし $M^2{c}^4=E_{\text{tot}}^2-|{\mathbf{p}}_{\text{tot}}{|}^2{c}^2$ である。