特殊相対論の問題

手順 1: 重心系の速さを求める。
実験室系での全エネルギーと全運動量は
$$E_{\text{tot}}=500+700=1200\mathrm{MeV},p_{\text{tot}}c=400\mathrm{MeV}$$
なので、重心系（全運動量が $0$ の系）の実験室系に対する速さは
$${\beta }_{\text{cm}}=\frac{v_{\text{cm}}}{c}=\frac{p_{\text{tot}}c}{E_{\text{tot}}}=\frac{400}{1200}=\frac{1}{3}$$

手順 2: 重心系で考える。
衝突前、B は実験室系で静止しているので、重心系では速度 $-\frac{1}{3}c$（$x$ 軸の負の向き）で動いている。
重心系では全運動量が $0$ で、弾性散乱では全エネルギーも保存されるので、各粒子の運動量の大きさ（したがって速さ）は衝突の前後で変わらず、向きだけが変わる。B が実験室系で最も大きなエネルギーを受け取るのは、重心系で B の速度がちょうど逆向きになる場合（正面衝突で A が後方に跳ね返る場合）で、そのとき B の重心系での速度は $+\frac{1}{3}c$ になる。

手順 3: 実験室系に戻す。
重心系は実験室系に対して $+\frac{1}{3}c$ で動いているので、速度の合成則より、B の実験室系での速さは
$${\beta }_B=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}=\frac{3}{5}$$
よって
$${\gamma }_B=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}=\frac{5}{4}$$

手順 4: 運動エネルギーを求める。
$$K_{B,\max }=({\gamma }_B-1)M{c}^2=\frac{1}{4}\times 700=175\mathrm{MeV}$$

確かめ: このとき B の運動量は $p_{B}c={\gamma }_B{\beta }_{B}M{c}^2=\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{5}\cdot 700=525\mathrm{MeV}$、A のエネルギーと運動量は $E_A^{\prime }=500-175=325\mathrm{MeV}$、$p_A^{\prime }c=400-525=-125\mathrm{MeV}$（後方に跳ね返る）。$325^2-125^2=90000=300^2$ となり、A の静止エネルギーが $300\mathrm{MeV}$ のまま保たれている。

よって最大値は $175$。

B が受け取る運動エネルギーが最大になるのは正面衝突（A が $x$ 軸上で後ろ向きにはね返される）のとき。この場合、散乱後の A の運動量を $p^{\prime }$（$x$ 成分、$c$ を掛けた値）、B の全エネルギーを $E_B^{\prime }$ とすると、全エネルギー保存: $E_A^{\prime }+E_B^{\prime }=500+700=1200$、運動量保存: $400=p^{\prime }+p_B$（単位 MeV/$c$）。一次元の弾性衝突なので、重心系で運動量の向きだけが反転する。実験室系での計算: 全運動量 $Pc=400$、全エネルギー $1200$、$s=1200^2-400^2=1280000$。重心系で B のエネルギーは $E_B^{\ast }=\frac{s+M^2{c}^4-m^2{c}^4}{2\sqrt{s}}=\frac{1280000+490000-90000}{2\sqrt{s}}=\frac{840000}{\sqrt{s}}=\frac{1050}{\sqrt{2}}$、運動量は $p^{\ast }c=\sqrt{E_B^{\ast 2}-M^2{c}^4}=\sqrt{551250-490000}=175\sqrt{2}$。重心系の速さは $\beta =\frac{400}{1200}=\frac{1}{3}$、$\gamma =\frac{1200}{\sqrt{s}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}$。B が前方（$+x$）へ向かう場合の実験室系エネルギー: $E_B^{\prime }=\gamma (E_B^{\ast }+\beta p^{\ast }c)=\frac{3}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1050}{\sqrt{2}}+\frac{175\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{3150}{4}+\frac{175}{2}=787.5+87.5=875\mathrm{MeV}$。運動エネルギーの最大値は $K_B=875-700=175\mathrm{MeV}$。検算: A の散乱後エネルギー $1200-875=325$、$p_A^{\prime }c=-\sqrt{325^2-300^2}=-125$、B の運動量 $\sqrt{875^2-700^2}=525$。運動量: $-125+525=400$ で保存される。