相対論的な弾性散乱

重心系では弾性散乱で各粒子の運動量の大きさが変わらないことと、4 元運動量のローレンツ変換・内積の不変性を使って、実験室系での散乱後のエネルギーや、標的粒子が受け取る運動エネルギーの最大値（正面衝突で後方に跳ね返る場合）を求められる

前提

不変質量（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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不変質量（大学物理特殊相対論）

説明

粒子が静止した標的粒子にぶつかり、粒子の種類も質量も変わらずに跳ね返る（弾性散乱）とき、散乱後のエネルギーを相対論的に正しく求める技能です。重心系に移ると散乱は「運動量の向きが変わるだけ」の簡単な出来事になるので、そこで考えてから実験室系に戻します。特に、正面衝突で標的が真正面に（入射粒子が後方に）跳ね返るとき、標的が受け取る運動エネルギーは最大になり、その値を求められます。荷電粒子が物質中の電子に与える最大のエネルギーや、光子が電子に当たって跳ね返る散乱などで使います。

なぜそうしてよいのか

衝突の前後で全エネルギーと全運動量は保存されます。重心系（全運動量が 0 の系）では、2 つの粒子の運動量は前後どちらでも大きさが等しく逆向きです。弾性散乱では質量が変わらないので、重心系での全エネルギー $M c^{2}$ （ $M$ は不変質量）を 2 つの粒子に分ける分け方は、散乱の前後で同じ $E_{i}^{*} = \frac{M ^{2} + m _{i}^{2} - m _{j}^{2}}{2 M} c^{2}$ になり、運動量の大きさ $p^{*}$ も変わりません（ $*$ は重心系の量）。つまり重心系での弾性散乱は、運動量ベクトルが大きさを保ったまま向きだけ回転する出来事です。

実験室系との行き来には、重心系の速さ $v = \frac{p _{tot} c ^{2}}{E _{tot}}$ （ $β = v / c$ , $γ = 1/ 1 - β^{2}$ ）のローレンツ変換を使います。静止していた標的（質量 $m_{b}$ ）は、重心系では速さ $v$ で入射と逆向きに動いているので $E_{b}^{*} = γ m_{b} c^{2}$ , $p_{b}^{*} = - γ m_{b} v$ です。正面衝突で真正面に跳ね返ると、重心系での標的の運動量は $+ γ m_{b} v$ に反転します。これを実験室系に戻すと
$E_{b}^{'} = γ (E_{b}^{*} + v p^{*}) = γ (γ m_{b} c^{2} + γ m_{b} v^{2}) = γ^{2} (1 + β^{2}) m_{b} c^{2}$
となり、 $γ^{2} - 1 = γ^{2} β^{2}$ を使うと、標的の受け取る運動エネルギーの最大値は
$K_{b, m a x} = E_{b}^{'} - m_{b} c^{2} = 2 γ^{2} β^{2} m_{b} c^{2}$
です。重心系で反転させたときに実験室系での標的の速さがいちばん大きくなるので、これが最大値です。

同じことは「内積の不変性」でも確かめられます。4 元運動量 $A = (A_{0}, A)$ , $B = (B_{0}, B)$ の内積を $A \cdot B = A_{0} B_{0} - A \cdot B$ と定義すると、 $A \cdot B = \frac{1}{2} [(A + B)^{2} - A^{2} - B^{2}]$ （ $X^{2} = X_{0}^{2} - ∣ X ∣^{2}$ ）と書けて、右辺の各項はどの慣性系でも同じ値なので、内積も系によりません。散乱前後の標的の 4 元運動量 $P_{b} = (E_{b} / c, p_{b})$ , $P_{b}^{'}$ の内積は、実験室系では $P_{b} = (m_{b} c, 0)$ より $m_{b} E_{b}^{'}$ 、重心系で後方散乱なら $\frac{E _{b}^{* 2}}{c ^{2}} + p^{* 2}$ なので、 $E_{b}^{'} = \frac{E _{b}^{* 2} + ( p ^{*} c ) ^{2}}{m _{b} c ^{2}}$ と求まります。

手順

実験室系で $E_{tot}$ と $p_{tot}$ を求め、重心系の速さ $β = \frac{p _{tot} c}{E _{tot}}$ と $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}}$ を計算する
重心系での標的のエネルギーと運動量 $E_{b}^{*} = γ m_{b} c^{2}$ , $p_{b}^{*} = - γ m_{b} v$ を書く（散乱で大きさは変わらない）
散乱後の重心系での運動量の向きを決める（正面衝突で真正面に跳ね返るなら $p_{b}^{*} \to + γ m_{b} v$ ）
ローレンツ変換 $E_{b}^{'} = γ (E_{b}^{*} + v p_{b}^{*'})$ で実験室系に戻す。後方散乱なら $E_{b}^{'} = γ^{2} (1 + β^{2}) m_{b} c^{2}$
運動エネルギー $K_{b} = E_{b}^{'} - m_{b} c^{2}$ （最大値は $2 γ^{2} β^{2} m_{b} c^{2}$ ）を求め、入射粒子のエネルギーは $E_{a}^{'} = E_{tot} - E_{b}^{'}$ で求める

例題

エネルギー $m c^{2}$ の光子が、静止している質量 $m$ の粒子に正面から衝突して弾性散乱した。粒子が受け取る運動エネルギーが最大になる場合（光子が真後ろに跳ね返る場合）、その運動エネルギーは $m c^{2}$ の何倍か。分数で求めよ。ただし $c$ は真空中の光の速さとする。

例題の解答

手順1: 実験室系で $E_{tot} = m c^{2} + m c^{2} = 2 m c^{2}$ 、 $p_{tot} c = m c^{2}$ （光子は $p c = E$ ）。よって $β = \frac{m c ^{2}}{2 m c ^{2}} = \frac{1}{2}$ 、 $γ^{2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$ 。

手順2: 重心系で粒子は $E_{b}^{*} = γ m c^{2}$ 、運動量 $- γ m \cdot \frac{c}{2}$ （光子の入射と逆向き）。

手順3: 光子が真後ろに跳ね返る場合、重心系で粒子の運動量は $+ γ m \cdot \frac{c}{2}$ に反転する。

手順4: $E_{b}^{'} = γ^{2} (1 + β^{2}) m c^{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} m c^{2} = \frac{5}{3} m c^{2}$

手順5: $K_{b, m a x} = \frac{5}{3} m c^{2} - m c^{2} = \frac{2}{3} m c^{2} (= 2 γ^{2} β^{2} m c^{2} = 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} m c^{2})$
散乱後の光子のエネルギーは $2 m c^{2} - \frac{5}{3} m c^{2} = \frac{1}{3} m c^{2}$ で、確かに入射の $m c^{2}$ より小さい。

よって $\frac{2}{3}$ 倍である。

答え: $\frac{2}{3}$

よくある誤り

実験室系で散乱の前後に運動量の大きさが変わらないとしてしまう誤り。大きさが変わらないのは重心系での各粒子の運動量であり、実験室系では標的に運動量とエネルギーが移る。
ニュートン力学の公式 $K_{b, m a x} = \frac{4 m _{a} m _{b}}{( m _{a} + m _{b} ) ^{2}} K_{a}$ を光速に近い粒子にもそのまま使ってしまう誤り。相対論では重心系の $β, γ$ を使って $K_{b, m a x} = 2 γ^{2} β^{2} m_{b} c^{2}$ とする（ $β ≪ 1$ のとき $2 m_{b} v^{2}$ となり、ニュートン力学の結果に一致する）。
重心系から実験室系に戻すときに符号を誤り $E_{b}^{'} = γ (E_{b}^{*} - v p_{b}^{*'})$ としてしまう誤り。重心系は実験室系に対して $+ v$ で動いているので、戻す変換は $E = γ (E^{*} + v p^{*})$ である。後方散乱で $E_{b}^{'} = γ^{2} (1 - β^{2}) m_{b} c^{2} = m_{b} c^{2}$ （何も起こらない）になったら符号の誤りを疑う。
内積を $A_{0} B_{0} + A \cdot B$ と足し算で計算してしまう誤り。系によらない内積は $A \cdot B = A_{0} B_{0} - A \cdot B$ で、 $A \cdot A = \frac{E ^{2}}{c ^{2}} - ∣ p ∣^{2} = m^{2} c^{2}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
実験室系（慣性系とする）で、静止エネルギー $m c^{2} = 300 MeV$ の粒子 A が、全エネルギー $E_{A} = 500 MeV$ （運動量の大きさ $p_{A} c = 400 MeV$ ）で $x$ 軸の正の向きに進み、静止している静止エネルギー $M c^{2} = 700 MeV$ の粒子 B に衝突して弾性散乱する（衝突の前後で粒子の種類と静止エネルギーは変わらず、全エネルギーと全運動量が保存される）。 $c$ は真空中の光速で、与えられた数値は正確な値として扱う。
散乱の向きによって、粒子 B が受け取る運動エネルギーは変わる。粒子 B が受け取る運動エネルギーの最大値を $MeV$ 単位で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
実験室系（慣性系）で、質量 $m$ の粒子 A が運動エネルギー $K$ で、静止している質量 $M$ の粒子 B に衝突し、弾性散乱する（衝突後も A, B は同じ粒子のままで、ほかの粒子は生じない）。 $m > 0$ , $M > 0$ , $K > 0$ とし、衝突の前後で全エネルギーと全運動量は保存するものとする。真空中の光の速さを $c$ とする。散乱の向きはいろいろありうる。衝突後に粒子 B が実験室系で得る運動エネルギーの最大値を、 $m$ , $M$ , $K$ , $c$ を用いて表せ。