ファインマン則と樹木図の散乱振幅

φ⁴ 理論・湯川理論・QED（および真空期待値のまわりに展開して得た 3 点・4 点頂点）のファインマン則を読み取り、マンデルスタム変数 $s, t, u$ を使って $s$ ・ $t$ ・ $u$ チャネルの交換図を足し合わせた樹木図レベルの不変振幅 $M$ を求められる

前提

ファインマン図の対称因子と連結図（大学院物理場の量子論）
不変質量（大学物理特殊相対論）
ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））

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算数中学高校大学大学院

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核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））

説明

散乱の確率振幅は、ラグランジアンの相互作用項から読み取れる「ファインマン則」（頂点因子・伝播関数・外線因子）を使うと、図を描いて規則どおりに掛け合わせるだけで計算できます。この技能では、ループを含まない最低次の図（樹木図）について、 $2 \to 2$ 散乱の不変振幅 $M$ を求めます。中間に粒子が 1 本走る交換図は、重心系エネルギーの 2 乗 $s$ や運動量移行 $t, u$ （マンデルスタム変数）の関数として $\frac{1}{s - m ^{2}}$ などの形で現れ、 $s, t, u$ の 3 つのチャネルを正しく足し合わせることが要点です。断面積や崩壊幅を求める計算はすべてここから始まります。

なぜそうしてよいのか

以下、 $ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ とします。不変振幅は $⟨ p_{3} p_{4} ∣ T exp (i \int d^{4} x L_{int}) ∣ p_{1} p_{2} ⟩$ の連結図の部分から全運動量保存の因子 $(2 π)^{4} δ^{4} (p_{1} + p_{2} - p_{3} - p_{4})$ を除いたものを $i M$ と定義します。 $L_{int} = - \frac{λ}{4 !} ϕ^{4}$ の 1 次では、 $- \frac{iλ}{4 !} \int d^{4} x ϕ^{4}$ の 4 つの場に 4 本の外線をつなぐ仕方が $4!$ 通りあり（ウィックの定理）、 $\frac{1}{4 !}$ がちょうど打ち消されて頂点因子は $- iλ$ になります。 $- \frac{g}{3 !} ϕ^{3}$ なら同様に $- i g$ です。このように係数に $\frac{1}{n !}$ を付けておくのは、同じ場の入れ替えによる数え上げを打ち消すためで、樹木図では対称因子は 1 になります。

2 つの頂点を結ぶ内線は、2 つの場の縮約 $D_{F} (x - y) = \int \frac{d ^{4} q}{( 2 π ) ^{4}} \frac{i}{q ^{2} - m ^{2} + i ε} e^{- i q \cdot (x - y)}$ です。頂点の位置 $x, y$ で積分すると、外線の平面波 $e^{\mp i p \cdot x}$ と合わせて各頂点で運動量保存のデルタ関数が出るので、内線の運動量 $q$ は外線の運動量で決まり、内線は因子 $\frac{i}{q ^{2} - m ^{2}}$ を与えます。 $2 \to 2$ 散乱で内線が 1 本の図は、外線 4 本を 2 本ずつ 2 つの頂点に振り分ける方法の数だけあります。 $(p_{1}, p_{2})$ と $(p_{3}, p_{4})$ に分ければ $q = p_{1} + p_{2}$ で $q^{2} = s$ 、 $(p_{1}, p_{3})$ と $(p_{2}, p_{4})$ なら $q^{2} = t$ 、 $(p_{1}, p_{4})$ と $(p_{2}, p_{3})$ なら $q^{2} = u$ です。ここで $s = (p_{1} + p_{2})^{2}$ 、 $t = (p_{1} - p_{3})^{2}$ 、 $u = (p_{1} - p_{4})^{2}$ はどの慣性系でも同じ値をとる不変量で、 $s + t + u = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2}$ を満たします。

湯川理論やQEDでも考え方は同じで、相互作用項 $- g ψ ˉ ψ ϕ$ や $- e ψ ˉ γ^{μ} ψ A_{μ}$ から頂点因子 $- i g$ 、 $- i e γ^{μ}$ を読み取り、外線のフェルミオンにはディラック方程式の解のスピノル $u, u ˉ, v, v ˉ$ を、光子の内線には $\frac{- i g _{μν}}{q ^{2} + i ε}$ （ファインマン・ゲージ）を割り当てます。フェルミオンの入れ替えで移り合う 2 つの図には相対的な符号 $- 1$ が付く点だけが、スカラーの場合と違います。

手順

相互作用項から頂点因子を読み取る: $L_{int} = - \frac{λ}{4 !} ϕ^{4} \Rightarrow - iλ$ 、 $- \frac{g}{3 !} ϕ^{3} \Rightarrow - i g$ 、 $- g ψ ˉ ψ ϕ \Rightarrow - i g$ 、 $- e ψ ˉ γ^{μ} ψ A_{μ} \Rightarrow - i e γ^{μ}$ 。
求める次数で考えられる樹木図をすべて描く。内線 1 本の $2 \to 2$ 散乱では、外線の振り分け方に応じて $s$ ・ $t$ ・ $u$ チャネルの図があり、同種粒子ならどれも落とさない（終状態が異なる粒子なら現れないチャネルもある）。
各内線の運動量を頂点での運動量保存で決め、伝播関数 $\frac{i}{q ^{2} - m ^{2}}$ （光子なら $\frac{- i g _{μν}}{q ^{2}}$ ）を書く。 $q^{2}$ をマンデルスタム変数 $s = (p_{1} + p_{2})^{2}$ 、 $t = (p_{1} - p_{3})^{2}$ 、 $u = (p_{1} - p_{4})^{2}$ で表す。
外線因子（スカラーは 1、フェルミオンは $u, u ˉ, v, v ˉ$ 、光子は偏極ベクトル）と頂点因子・伝播関数を掛けて各図の値を求める。フェルミオンの入れ替えで移り合う図には相対符号 $- 1$ を付ける。
すべての図を足したものを $i M$ とし、 $i$ で割って $M$ を得る。

例題

$ℏ = c = 1$ 、計量 $(+, -, -, -)$ とする。質量 $m$ の実スカラー場 $ϕ$ のラグランジアン密度が
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} - \frac{g}{3 !} ϕ^{3} - \frac{λ}{4 !} ϕ^{4}$
で与えられる。散乱 $ϕ (p_{1}) ϕ (p_{2}) \to ϕ (p_{3}) ϕ (p_{4})$ の樹木図レベルの不変振幅 $M$ を、 $s = (p_{1} + p_{2})^{2}$ 、 $t = (p_{1} - p_{3})^{2}$ 、 $u = (p_{1} - p_{4})^{2}$ と $g, λ, m$ を用いて求めよ。ただし $i M$ はファインマン図の和として定義し、 $M$ は $s, t, u$ を消去せずにそのまま含む形で答えよ。

例題の解答

手順 1: 頂点因子は $ϕ^{4}$ が $- iλ$ 、 $ϕ^{3}$ が $- i g$ 。

手順 2: 樹木図は (a) $ϕ^{4}$ 頂点 1 つに 4 本の外線がつく図、(b) $ϕ^{3}$ 頂点 2 つを内線 1 本で結ぶ図で、(b) には外線の振り分け方により $s$ ・ $t$ ・ $u$ チャネルの 3 つがある（すべて同種粒子なので 3 つとも現れる）。

手順 3: (b) の内線の運動量は、 $s$ チャネルで $q = p_{1} + p_{2}$ 、 $t$ チャネルで $q = p_{1} - p_{3}$ 、 $u$ チャネルで $q = p_{1} - p_{4}$ 。伝播関数はそれぞれ $\frac{i}{s - m ^{2}}$ 、 $\frac{i}{t - m ^{2}}$ 、 $\frac{i}{u - m ^{2}}$ 。

手順 4: 外線因子はすべて 1。(a) は $- iλ$ 。(b) の各チャネルは $(- i g)^{2} \frac{i}{q ^{2} - m ^{2}} = \frac{- i g ^{2}}{q ^{2} - m ^{2}}$ 。

手順 5:
$i M = - iλ - i g^{2} (\frac{1}{s - m ^{2}} + \frac{1}{t - m ^{2}} + \frac{1}{u - m ^{2}})$
より
$M = - λ - g^{2} (\frac{1}{s - m ^{2}} + \frac{1}{t - m ^{2}} + \frac{1}{u - m ^{2}}) .$

答え: $- λ - g^{2} (\frac{1}{s - m ^{2}} + \frac{1}{t - m ^{2}} + \frac{1}{u - m ^{2}})$

よくある誤り

ラグランジアンの係数をそのまま使って $ϕ^{4}$ 頂点を $- \frac{iλ}{4 !}$ としてしまう誤り。4 本の外線のつなぎ方 $4!$ 通りが $\frac{1}{4 !}$ を打ち消すので、正しくは $- iλ$ （ $ϕ^{3}$ も $- \frac{i g}{3 !}$ ではなく $- i g$ ）。
同種粒子の散乱で $s$ チャネルだけを書き、 $M = - λ - \frac{g ^{2}}{s - m ^{2}}$ としてしまう誤り。外線の振り分け方すべてを足して、正しくは $- λ - g^{2} (\frac{1}{s - m ^{2}} + \frac{1}{t - m ^{2}} + \frac{1}{u - m ^{2}})$ 。
伝播関数の $i$ や頂点の $- i$ を落として、交換図の寄与の符号を $M \supset + \frac{g ^{2}}{s - m ^{2}}$ としてしまう誤り。 $(- i g)^{2} \cdot \frac{i}{s - m ^{2}} = - \frac{i g ^{2}}{s - m ^{2}}$ なので、正しくは $M \supset - \frac{g ^{2}}{s - m ^{2}}$ 。
$t$ を $(p_{1} + p_{3})^{2}$ と定義してしまう誤り。 $p_{3}$ は出ていく粒子なので内線の運動量は $p_{1} - p_{3}$ で、正しくは $t = (p_{1} - p_{3})^{2}$ 。このとき質量 $m$ の 4 粒子について $s + t + u = 4 m^{2}$ が成り立つ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ 、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を用いる。質量 $m$ の実スカラー場 $ϕ$ のラグランジアン密度を
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} - \frac{g}{3 !} ϕ^{3}$
とする（ $g$ は実数の結合定数）。この理論のファインマン則は、頂点因子 $- i g$ 、運動量 $q$ の内線の伝播関数 $\frac{i}{q ^{2} - m ^{2} + i ε}$ である。
2 粒子散乱 $ϕ (p_{1}) + ϕ (p_{2}) \to ϕ (p_{3}) + ϕ (p_{4})$ の不変振幅 $M$ を、 $i M$ が連結で切断された（amputated）ファインマン図の和に等しいと定める。マンデルスタム変数
$s = (p_{1} + p_{2})^{2}, t = (p_{1} - p_{3})^{2}, u = (p_{1} - p_{4})^{2}$
を用いて、 $g$ の最低次（樹木図レベル）の $M$ を $g, m, s, t, u$ の式で求めよ。ただし $s, t, u$ はいずれも $m^{2}$ と異なるとし、 $i ε$ は省略してよい。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
自然単位系 $ℏ = c = 1$ をとり、計量の符号を $(+, -, -, -)$ とする。実スカラー場 $ϕ$ のラグランジアン密度を
$L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ + \frac{1}{2} μ^{2} ϕ^{2} - \frac{λ}{4 !} ϕ^{4}$
とする。ここで $μ > 0$ , $λ > 0$ は定数である。この理論では $ϕ$ が真空期待値 $v > 0$ をもつ。 $ϕ = v + h$ と書き、場 $h$ が表す粒子（質量 $m_{h}$ ）を考える。
$h$ 粒子どうしの弾性散乱 $hh \to hh$ を、結合定数の最低次（樹木図レベル）で考える。重心系での全断面積 $σ (s)$ を、終状態の 2 粒子が同種粒子であることによる因子 $\frac{1}{2}$ を含めて全立体角で積分したものと定義する（ $s$ は重心系の全エネルギーの 2 乗）。
閾値極限 $σ_{0} = s \to 4 m_{h}^{2} + 0 lim σ (s)$ について、無次元量 $\frac{μ ^{2} σ _{0}}{λ ^{2}}$ の値を求めよ（正確な値で答えよ）。

この技能の次に学べること

スピン和と振幅の 2 乗のトレース計算（大学院物理場の量子論）
2→2 散乱の微分断面積と全断面積（大学院物理場の量子論）
フェルミオンループを含む 1 ループのベータ関数（大学院物理場の量子論）